1樓：勁一方
我來逐個證明一下.由於原圖中缺少文字說明，為了使整個過程嚴謹，我會敘述一遍題目加以明確.
1.（1）已知二次函式y＝ 交x軸於A，B兩點（A在B左側）.設方程 的判別式為 ，求證.(思路：由二次方程求根公式算出A，B兩點的橫座標並計算出AB的長度）
令 ,解得 .x1,x2即為A,B兩點的橫座標，但哪個是A的，哪個是B 的不確定.所以AB長可表示為 ，代入得
（2）已知二次函式y＝ 交x軸於A，B兩點（A在B左側），交y軸於C點.當 時，求證ac=-1.（思路：
先證明三角形ABC是直角三角形時只有角ACB可能是直角，再由直角ACB得到直線AC與直線BC的斜率之積等於-1的等式，最後想辦法用已知條件表示兩個斜率代入這個等式得到結論）
第一部分證明：
同理， ，只有角ACB可能等於九十度.
第二部分：
代入 :
由韋達定理可知 ,代入
得 .最後，意外地發現還需要證明ac小於零，才可得到ac=-1.
第三部分：證明ac小於零.（思路：用反證法.畫圖證明a,c同號時三角形ABC不是直角三角形，則a,c同號不成立，則a,c不同號.所以ac小於零.）
假設a,c同號：當a,c都是正數時，該二次函式影象大致為
角OCA度數一定大於零，所以角CAB大於九十度，是鈍角，三角形ABC 不是直角三角形.
當a,c都是負數時，該二次函式影象大致為
同理角CBA大於九十度，是鈍角，三角形ABC 不是直角三角形.
所以a,c不同號，ac小於零，又 ，所以ac=-1.
2.已知二次函式y＝ 的影象交x軸於A，B兩點（A在B左側），頂點為C點.設方程 的判別式為 ,當 為直角三角形時，求證 =4.
(思路：證明三角形ABC是以AB為底的等腰三角形，找底邊上的高，結合1.（1）中的結論，利用題中給出的特殊三角形的條件，得到高與底邊AB的數量關係得到結論.
）設該二次函式影象的對稱軸交x軸於H點，因為A,B兩點都在影象上，且縱座標相等，由二次函式影象性質可知， 所以CH垂直平分AB，AC=BC.所以三角形ABC是以AB為底的等腰三角形，若為直角三角形，只有角ACB可能等於九十度.
因為AC=BC，所以 ， ,因為 ,所以CH=BH.又AB=2BH，所以AB=2CH（1）.
由二次函式頂點座標公式，得 ,則 ,又 ，代入（1）式得：
等號兩邊都是絕對值，分同號和不同號兩種情況：
等式兩邊同時乘以a：
等式兩邊同時作平方計算，得到同乙個方程：
化簡得到乙個一元二次方程：
用因式分解法解這個方程：
得 .當 等於零時，A,B兩點重合，三角形ABC不存在，所以 捨去.
=4.3.已知二次函式y＝ 的影象交x軸於A，B兩點（A在B左側），頂點為C點.
設方程 的判別式為 ,當 為正三角形時，求證 =12.（思路：與2相同，這裡省略與2相同的幾何證明，輔助線說明和部分計算過程.
）由正三角形ABC，得角CBH為60度.
所以 將代入上式：
得 化簡得一元二次方程
得 ， 理由同2.
4.已知二次函式y＝ 的影象交x軸於A，B兩點（A在B左側），頂點為C點.設方程 的判別式為 ,當 時，求證 .
（思路：與2相同，這裡省略與2相同的幾何證明，輔助線說明和部分計算過程.）
所以 將代入上式：
得 化簡得一元二次方程
因式分解：
得 ， 理由同2.
我的解答過程中證明了很多一眼就能看出來的東西，看著感覺是廢話，但我覺得是有必要的.
有句話說得好：數學中，計算要的是準確；證明要的是嚴謹.
這應該是初三的知識吧.我不知道題主所在城市的中考是什麼樣的，但在我中考時是用不上這些的.過程裡用到了一些教材上沒有的結論（就是1.
（2）的斜率那裡），用直角三角形的相似就可以證明，也很好理解，不知題主是否了解，若有需要我可以繼續解答.
2樓：星野日向
證明:設A( )，B（ ）
由圖得∵ ,
∴ ∵ 0，AB>0" eeimg="1"/>∴ ,從而得到韋達定理的補充公式：
因為 根據射影定理,得：
∴ 根據韋達定理，得：
於是有：
由此，結論1已證明
根據題意和以上結論，可以構造以下圖形
C是二次函式的頂點，考慮到二次函式的對稱性，可知這是乙個等腰三角形且∵此時對稱軸為y軸，C點同時是與y軸的交點和二次函式的頂點∴ 且
∴ 由此，結論2已證明
根據題意可以構造以下圖形
此時 有：
假設 是乙個等邊三角形
∴ ∵∴ 化得 ①
繼續化簡得 由於
於是有：
代回①，得：
由此，結論3已證明
根據題意和以上方法可構圖
∵ ∴∵ ∴
,原理同證結論3，可得：
由此，結論4得證。
3樓：在野武將
是初中生嗎？
我們先設
我們先證明結論2-4
由二次函式的對稱性我們可知，圖中的三角形ACB一定是等腰三角形。
當三角形ACB為直角三角形時，由初中所學的三角知識我們可知，同時將代入 可得 。 又有。代入化簡完全後可以證明 。
當三角形ABC為等邊三角形，或者∠ACB=120°時，可以同理證明。
再證明結論1
當三角形ABC為直角三角形時， ，即 ，即 ，則有 。
4樓：學習使我快樂
第一題推導
直角三角形三邊關係：兩直角邊等於第三邊
二次函式上三點座標A（x1，0）、B（x2，0）C（0，c）
所以有（x2-x1）^2=x1^2+c2+x2^2+c2
韋達定理代進去化簡
最後的ac=-1
斜邊長用座標表示|AB|=|x2-x1|
二次函式可知x1+x2=-b/a，x1x2=c/a
找關係（x1+x2）^2-4ac=（x1—x2）^2
所以化簡可得|x2—x1|=/△/|a|
第二三四注意是頂點與交點圍成的三角形，整體上是角度變化導致△變化。
這裡考慮了三種情況，分別是90，60，120
推導方法如下：
首先頂點座標（-b/2a，-/△/4a）
然後注意到二次函式影象是關於x=-b/2a對稱的，所以這個三角形的基礎是等腰三角形。
設角ACB為α，過C做AB垂線交AB於D，已知|CD|=根號下△/4a，|AD|=|b/4a|根據等腰三角形三線合一，tanα=|AD|/|CD|
把△放一邊，所以△=4/tan^2（α/2）
學習的是方法，這種題是與三角形聯絡在一起，你就要明白各自他們的性質以及特徵，記住不如會推，你記住不一定考，但你會推即使你不會的也可以現場推，物理我考試推幾遍就記得的，現在都沒忘記。
請問二次函式的一般式ax bx c是如何推導出來的，眾所周知三點可求abc，但這個變化規律咋來的
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