1樓：彭曉韜
最簡單的方法是對Y＝sinx-x進行求層數，則有Y＝cosx-1，當x很小時，其值接近0.這就說明sinx與x在絕對值很小時的導數是相同的，也就是其斜率是一樣的。
2樓：starrycao
關於證明前面的朋友已經給出完美答案了， 這裡不是證明， 來個直觀感受， 可以體會sinx/x是如何接近1的
用Python
import numpy as np
for i in range(10):
x=1/10**i
d=np.sin(x)/x
print(x,' ', d)
執行結果
1.0 0.84147098480789650.
1 0.99833416646828150.01 0.
99998333341666650.001 0.99999983333334160.
0001 0.99999999833333341e-05 0.99999999998333321e-06 0.
99999999999983341e-07 0.99999999999999831e-08 1.0
1e-09 1.0
當x取值到一億分之一時， 雖然理論上sin(x)和x還是不一樣， 計算機的精度已經感受不到它們的差異了
3樓：cvgmt
也可以根據圓周運動這個物理直觀，把 sin t, cos t 定義為常微分方程組的解。
r(t)=(cos t,sin t) 在物理上滿足其速度 r'(t) 是 r(t) 逆時針轉過 90° 。於是有微分方程組，再加上初值。
這個方法也是嚴謹的，與級數異曲同工。
4樓：紫信
當x趨近0時
泰勒展開有sinx等於x+x(-1/6*x平方+....)括號裡面是無窮小，因為無窮小*x遠小於x，所以sinx趨近x
5樓：華潤華潤華
其實就是要搞清楚sin(x)的定義，如圖，圓C為半徑是1的圓，若弧AB的弧長為x，那麼線段BD與線段BC長度的比值為sin(x)，以上是sin(x)的定義
而由於圓C的半徑為1，所以BD/BC事實上就等於BD
那麼，當x(即弧AB的弧長)很小時，不難看出AB≈BD，即x≈sin(x)
6樓：好奇理論
鑑於已經有人用圓的面積法來證明這個結論, 且另有人懷疑圓的面積就是用 sin x 與 x 的近似來證明了, 因此有必要給出乙個圓的面積的嚴謹證明.
考慮單位元, , 在第一象限部分為 .
已知圓的周長為
即下面求圓在第一象限部分的面積 S 是否等於 .所以
7樓：銀河以北
這個問題我們講過類似的。
應該是在單位圓上取一點，分別做x軸的垂線、sinx、tanx 、和連線單位圓與x軸正方向的交點。
然後通過面積的大小比較。
可以得到sinx＜x＜tanx嘿嘿
8樓：東莞阿斌
微分用於近似計算中有公式如下：
f(x)近似於f(0)+f′(0)x,其中|x|較小.
在上式中令f(x)=tanx即可證出
9樓：執悲今厄
我們來構造這樣乙個式子：
對sinx＝x(x→0）兩邊同時乘以r∧2/2，得：
r∧2/2*sinx＝r∧2/2*x(x→0)對右側分子分母同時乘以π，得：
r∧2/2*sinx＝πr∧2/2π*x(x→0)它的幾何意義是：當頂角趨近於零時，乙個等腰三角形的面積與其同腰扇形的面積相等。
顯而易見，此幾何意義成立。
故原命題成立。
概括式結構講解：對於一組多條資訊，可以將其分為三至五部分，然後概括出每部分的共同點與核心結論，並將概括後的結果講出來，而非講原資訊。這樣可以讓聽者直觀的統覽流程。
10樓：唐德銘
第一步：以（0,0）為圓心繪出單位園和第一象限中的斜邊（半徑），第二步：建立弧度制模型，即角度x等於x軸與斜邊之間的弧長比斜邊（半徑），
第三步：回顧正弦的定義，即sinx等於對邊比斜邊，第四步：旋轉斜邊，使角x向0收斂，
第五步：可見，對邊的長度更迅速地向弧長收斂，第六步：結論，如果僅僅是講一種趨勢，可以說「當x的絕對值很小時，sinx≈x」，如果強調誤差的絕對值時，就有必要講x小到什麼程度。
11樓：自由的風
人在學校，剛開手機，這個我會，強行回答
這個涉及到乙個叫做等價無窮小的知識，問出這個問題的同學應該還是乙個高中生，我那時也特別奇怪，後來我上了大學，乙個月不到就砍瓜切菜了
反正當x等於0的時候，x和sinx等於0，因此不妨這樣寫這個過程裡，實際上（我個人感覺是特別地）很不嚴謹的推導了洛必達定理建議可以學習一下這個玩意兒，我就不再普及了。。。。。。。
畢竟我其實這會兒已經玩了很長時間的手機了，我要學習另外，我很模糊的記得我被要求寫夠三百字，但是怎麼說呢，這個問題其實挺簡單的，屬於高數入門級別的問題，也有一大部分高中生包括近乎全部的數競生都是會這個的，我最開始高中老師教我們的時候還不屑，覺得這是什麼玩意兒啊，後來慢慢的寫題，慢慢的理解，發現。
上圖是尤拉，但是表達了我的心情，高山仰止，景行行止，前人智慧型，後人乘涼，在此膜拜之，再拜之，三拜之，鳴謝
12樓：
用泰勒公示展開
sinx = x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!+Rn(x) ,x 趨於0時只剩下x項,其餘都是高階小量,sinx約等於x
用夾逼準則
泰勒公式已經很多人說過了，下面寫一下夾逼準則論證（四分之一圓沒畫好，手殘）假裝無事發生
證畢菜鳥一枚，輕噴，前方還有諸多大佬的方法等，希望可以幫到你
13樓：沐雨白
我覺得所有答主再回答問題的時候，都因為學過高等數學而陷入各種複雜的證明不能自拔卻忽略了最為基本的東西。
由於問題並沒有給定非常嚴格的限制，甚至出現了約等於這樣寬鬆的要求，這樣就使得證明非常簡單了。
仔細讀題，當x絕對值非常小的時候。非常小到底是多小？並沒有限制，那我就可以任意取乙個絕對值很小的數字，題目又沒有限定x絕對值的取值範圍，那自然可以取x絕對值最小的那乙個，即x=0時，此值滿足條件當x絕對值非常小。
然後看問題，證明sinx約等於x，那將這個非常小的0值帶入方程兩端，自然就發現方程兩端都是0，那此時sinx=x，自然也滿足約等於的要求。
綜上，由於題目沒有嚴格的限定是當x絕對值趨向於0，也沒要求證明sinx完全等於x，那僅需取乙個非常高興小的具體數值，帶入即可證明。
ps：如果讓你證明1約等於1.000000000001，難道還需要你把1泰勒展開了麼？他們不就本來就約等於麼？
14樓：癮君子
最為簡單粗暴的方法就是Taylor展開
當然不是swift。。。。
展到2-3階就差不多了後面用個Peano餘項替掉畢竟Taylor公式展完了叫做Taylor級數就是通過多項式擬合函式的一種方法(擬合可能不太標準但意思到了就行了)那麼根據Taylor展開就知道在(0，0)處sinx與x的增幅的差值僅差x的高階無窮小換句話說很小很小
另外還可以構造g(x)=sinx-x，顯然一階導數是-2sin∧2(x/2) 換句話說比x∧2還小那麼取極限肯定不比x∧2大那麼久可以說明近似了(絕對值意義下)
PS:以上實在無窮小量的基礎上分析但是如果說x≈sinx 那可以理解成初中問題?因為sin0=0 兩者連續所以約等號成立在此基礎上sinx與任何經過(0，0)的連續函式均相似(權當娛樂看完一笑就行了)
另外看到前面有大佬正確指正Taylor公式這些東西在下不才只能想到用三角函式線了
如果有想到別的或許會續上
15樓：cdh1075
這問題我想了很久，
從數學上，似乎沒有辦法證明倆東西約等於，
當x→0時，sinx=x
與當x絕對值很小時，sinx≈x
不是一回事啊
從工程上，不給出需要的精度，他倆根本就不約等於
16樓：
說什麼用導數，用泰勒展開,還有什麼用中值定理的...都是錯的..
證 導數公式的時候是要用到這個等價無窮小的..
有人問為什麼是錯的...好的我再講明白一點：論證的順序錯了，那樣子證明的迴圈論證.
回答下原題，畫個圖，考慮正弦，弧度和正切，用夾逼的原理。
17樓：JoshCena
其他答主已經講了泰勒展開，拉格朗日等種種方法。我再來詳細講講單位圓的故事。
從前有個我很崇拜的大佬叫凱庫勒。當時是十九世紀，有機化學蓬勃發展的時候；人們正在為苯分子的結構而頭疼，沒有一種已知的結構能解釋它的性質。但凱大佬在半睡半醒的時候，夢到了一條頭尾相連的蛇。
由此，他得出了著名的苯分子凱庫勒式。
而當時年幼無知（甚至不曉得凱庫勒是何許人也）的初三的我，在同樣的乙個半睡半醒的早晨，夢到了這樣乙個圓：
醒來後，我開始思考，這樣乙個圓有什麼用。
首先，我開始考慮那個迷之角度 的意義。我決定從它對應的扇形入手：
隨後，我鬼使神差地決定再求這個三角形的面積：
求完了這些，我開始觀察它們的數量關係。毫無疑問，三角形的面積小於扇形的面積；而當時正是我初次接觸極限的概念的時候，所以我敏銳地看到，當角度 無限接近於零時，這兩個圖形的面積也會無限接近。至於為什麼？
因為此時它們的差，那個弓形，就幾乎不存在了。所以有如下關係：
年少無知的我，到了這一步，便沒有往下想了。但半年後，我學會了弧度制。此時，我重新審視這個公式，發現，如果我把公式從角度制變為弧度制，即 ，那麼它就變成了 ！
然而，因為此時我已經見過了這一式子，知道自己只是重新造了個輪子……
這個故事告訴我們兩個道理：
正如張愛玲所說，出名要趁早。（但是作為零零後青年，數學方面要年少有為實在是太難了）
睡眠有益於靈感。
最後，來點數學老梗。
18樓：青冥搖煙
由拉格朗日中值定理，sinx-sin0=cosξ(x-0)即sinx=xcosξ，其中ξ處於0和x之間當x→0時，ξ→0，cosξ→1
即sinx→x
19樓：陳某某
這要看你學到哪了，如果你只是學到了無窮小代換，那就當做基本事實吧。不過按時間來看應該學過或者要學到泰勒公式了吧。
補上乙個盡量靠前的證明吧，如下
當x趨向於x。時，有
dy≈dx×f'(x。)，所以f(x)≈f(x。)+dx×f'(x。)
所以當x。=0，
有f(x)≈f(0)+x×f'(0)
所以sinx≈0+1×x=x
即為sinx≈x
注(dy即為△y，dx即為△x)
當x趨向於0 sinx x等價什麼 該怎麼求呢？
答 等價為2x。首先，在x 0的時候，sinx x，判斷是否是等價的，可以用 sinx x是否等於1來判定。用洛必達法則或者泰勒一階展開可以立馬得到答案。也可以做單位圓來輔助證明。以下給出證明 所以既然sinx x，那麼左右兩邊同時加x就可以得到我們想要的答案啦 sinx x 2x。這裡補充一點，可...
蘋果x充電5小時怎麼辦？
約等於九 iPhone用5w的充電器，確實需要3 4小時。還有80 的電量之後充電變慢，是正常的 因為要涓流充電，所以也確實很慢 因為充電很快的話，電量測量就會不准。為了電量測量更準，所以快充滿的時候，充電速度會變慢，為了電量測量更準確 不過iPhone8之後的機型，都是支援18W左右快充的。差不多...
x的n次方的導數的nx的n 1次方怎麼證明的 ？
Septsea Uninvited.Well,I finally encounter a math problem about which I can discuss.x 0 1,so x 0 1 0 x 0 1 Assume n is an integer 0.Then Now suppose n...