1樓：李磊
實分析的學習關鍵在於分析的基本概念沒有掌握牢靠或者對於整個分析的整個歷史發展脈絡不清晰例如：
1 實數的構建和實數完備性的證明
2 compact set的概念以及正反例子的理解中國台灣大學的陳金次教授的高等微積分講義可以先看看
2樓：hny2015
要了解實分析產生目的，勒貝格處理的方法，對比著黎曼積分去看。
核心的點在於了解無窮的概念，特別是勒貝格允許可數加。這樣對集合進行劃分，可以去掉一些比較差的點，由此拓寬可積函式的範圍。而黎曼是有限和，對所有點都是一視同仁，因此無法處理比較差的點。
基本了解這個之後，其他的就是從這個概念出發推出來的一系列的性質了。
不要拘泥教材，多看看勒貝格相關的文獻。教材的寫法是倒過來的，一開始會很難接受他上面講的東西。
3樓：Wei Xiong
某華五數院實分析苟了個100的路過, 其實感覺自己對實分析的把握還是不如一些真正的大佬的, 可能還是題目做的比較多吧(個人感覺能寫完stein的習題其實就已經挺不錯的了, 周民強上有的題目確實太抓一些技巧了, 比較適合考前幾天集中訓練..)
推薦個方法，一開始看實分析的前一兩個月也是一臉懵逼，特別一些後來看起來特別普通的trick，比如 , 通過inf的定義取乙個具體的covering使得只差 , 通過 任意性證明不等式等等都覺得很不習慣,,, 之後的學習路線大概是,手抄+Latex+參考別人筆記把stein和部分周民強的定理所有證明細節複述一遍, 並通過上課驗證自己對定理的理解, 一開始之所以這麼做, 是因為只有這樣我能感覺到我在學實分析, 在加深對實分析的理解, 單單看書感覺看完了還是一臉懵逼...
特別是在勒貝格積分的構建那一塊, 先抄了可測集逼近理論, 然後是函式逼近理論的幾個定理(特別是Egorov), 然後自己一步步跟著stein構建所有證明, 甚至對每個階段的積分的線性性, 絕對值不等式等性質也都一一check, 整個過程花了乙個星期, 這個過程對我理解勒貝格積分幫助特別大, 特別是幾個控制定理的應用。
之後在期末前複習了一遍所有定理證明, 再拿了乙個新的筆記本, 嘗試記憶每個定理的證明框架，然後蓋起書，自己補充gap，驚喜地發現我在整個課程定理的複習裡已經可以把握"為什麼"這個問題了，甚至我會開始覺得stein這裡寫的不好，某項內容是多餘的，對於課程主幹並沒有幫助。
抄書不是目的, 抄書對我最大的幫助是讓我讀書這個過程慢下來, 真正能讓我去體會, 學習定理的證明的細節, 避免看完了其實什麼都沒看懂的情況出現
實分析的證明技巧其實真的不算多, 耐心讀下去很快就會豁然開朗的！
最後，善用math exchange, 國外大學的lecture note, 知乎上的一些筆記, 師兄師姐的筆記等資源！
4樓：JiQi貓
感覺是老師教的不好或者太快（也算不好其實）。實分析應該是很有條理的一門課，學完了應該能回答的出為什麼要引入某些定義，甚至說學到某一些章節的時候能自然而然想到接下去會學什麼，當然類似於caratheodory measurability這種東西不是那麼容易想到的，還有很多別的地方也有特別的trick。但總體而言這種所謂的high level picture如果看不到，悶頭做題應該是會很迷茫的，雖然可能能考個高分？
但從學習知識的角度而言可能就不大好了。
5樓：ABH
我的結論是實分析的課程特點是學習中簡單，回頭看難。（或者說入門簡單，高階困難）
按照課程講述順序，我們先給出參考書。（排名分先後）
Elias M. Stein & Rami Shakarchi, Real Analysis: measure theory, integration & Hilbert spaces.
Terence Tao, Lecture Notes for 245A, Real Analysis.
Folland, Real Analysis.
Walter Rudin, Real and Complex Analysis.
陶哲軒的講義寫的很棒很棒，棒到你可以不去聽課也得把它看完。
首先我們回答乙個問題，為什麼實分析那麼難？
是因為實分析這門學科是不良定義的。如果理解實分析是分析實數或者 空間性質的話，那相當大一部分調和分析、泛函分析和PDE都能劃到實分析裡面去，而它們的分析方法都是以這門本科生的課程內容作為一種正規化存在的。簡言之，如果你在抽代中沒有深入接觸Galois theory的話，那麼，實分析是你第一次接觸現代數學研究正規化的課程。
說不難就有點兒跨維打擊的意思了……
另外，我們引述一句分析界廣為流傳的話，
Analysis is the art of taking limits.做乙個顯然的推論，既然分析是取極限的藝術，那你就得和藝術大師學，跟街頭年畫學畫畫，就只能越描越黑沙耶博士，所以這就是為啥你就是翹課也得把老陶的講義看完。
但相信我，實分析並沒有你想象的那麼難，甚至圍繞本科講述水平來說，它不難。它不用抄書，也不用刷題，就真的只是乙個孩子間的遊戲。
不！就像我說過的，分析其實是取極限的藝術。大部分人數分的第乙個定義都是極限，可你們何時想過為什麼我們要定義「極限」這個東西呢？
數分告訴你，因為我們要處理微分、積分，用極限可以避免 還是不等這種悖論。實分析告訴你，不是的。我們定義「極限」歷史上是作為一種技術解決悖論而存在，但這個概念之所以能夠幾乎等價於分析，實分析才給了你乙個答案。
那是因為就如同代數中的同態，動力系統中的conjugacy，微分流形中到 的那個同胚一樣，我們對於有些情況根本無能為力，這能先解決乙個空間的問題，然後把它延伸，這個延伸的盡頭，就是極限。
由此，我們可以推斷，如果有乙個空間，那麼解決剩下的問題最重要的是什麼？是分劃和逼近。如果後續有什麼時候你定理證不出來的時候，請務必記住我這句話，分劃和逼近，考慮一下。
那麼在實分析中我們通常是怎麼分劃和逼近的呢？很簡單，當我們要逼近無窮的時候，就 就可以了。當我們要逼近0的時候，就考慮 就可以了。
但如果空間沒什麼限制呢，好說，兩種都考慮一下，哪個好用用哪個唄。
同理，可推知，我們要逼近中乙個開集的話，除了這種用同心球的方式，還有什麼呢？顯然，長方體（box）也是乙個不錯的選擇。我們已經體會過數分中被高維不規則圖形支配的恐懼，那如果乙個集合能寫成 的形式得多麼幸福！
實分析告訴你，那就這麼逼唄。
另外，當我們要逼近乙個可積函式的時候，我們可以考慮拿函式的值去對從而把定義域劃分成一層一層的東西，比如說對於正值函式來說， 是乙個多麼顯然的分劃啊。那麼再細一點，能不能考慮
當然可以了。最後越畫越細越畫越細，那麼
等等是不是就是乙個自然的對可積函式的逼近啊？實分析告訴你，逼啊。所以我們就可以用這種簡單函式去逼近乙個可積函式了。
（當然我們暫時不考慮簡單函式和階梯函式的subtle差別，因為我想把這種分劃和逼近的思想告訴你們）
剩下的事情就更為簡單了，把他們組合組合剩下的定理全出來了。定義域無界的時候用第一種方法，就有了緊支集函式逼近；或者再結合上特徵函式，那真是想啥來啥，有啥證啥。
掌握了這些方法，實分析入門就已經可以很快了，這門課似乎就也不再那麼困難了。沒想到吧，就在這幾行，開集分解定理、Egorov定理、Fatou引理、單調收斂定理、有界收斂定理、控制收斂定理，Fubini定理，沒了。當然，你翻書的時候覺得定理沒見過，不要緊，證明方法一定在剛才這幾行裡面。
再提兩個愚蠢但是有用的分劃。
我們不妨假定乙個函式總是非負的，為啥？因為乙個函式總可以寫成 。其中前者的定義域是 ，後者同理。
我們總希望在乙個區間裡面函式總要盡可能好，啥是好呢，比如這樣，假設我們是個太陽，我們能看到的是什麼呢？
Rising Sun Lemma
從東面看，每個極大值都能對應乙個區間的右端點，在這個區間裡面的函式值都小於極大值，除了左右端點，而且上去之後不許下來。
完了，Lebesgue微分定理就是這兩個東西加上前面的東西加Hardy-Littlewood極大函式。當然，最後這個名字很難，起源無非是棒球比賽計分。
行了，大部分學校的實分析課程我相信到這裡基本也就差不多了，可能還加一點抽象測度論的內容。但我相信，這篇回答已經足夠能支援你產生對實分析的興趣和學下去的自信與動力。這就是我回答的目的。
再次宣告：我是為了普及本科水平的實分析，而實分析背後的力量，超乎你想像。
最後還有一句忠告，在數學中，像個小孩一樣思考，並不是一件壞事。
6樓：夢神機
關鍵還在於老師，自己乙個人能看懂學好實變的，委實是很少數。
當初我學這個的時候也很吊兒郎當，考試前硬著頭皮去求老師劃重點。老師是國內專門搞數學教育的乙個名師，就給我講了十幾分鐘黎曼可積和lebesgue可積的區別，我就豁然開朗。後來複習了兩天，也勉強3.
0考過了。
其實我覺得數學系本科生裡，最有趣味的課程莫過於實分析。和數學分析是完美銜接的，lebesgue積分的給出，其中蘊含的思想，測度理論的構造，一下子就能把你帶入更恢弘的現代數學世界。
題主我建議你多去拜訪老師，鄰近大學的也可以，學數學真的還得靠老師。
7樓：lalalalr
剛開始學的時候有相同的感覺，不過覺得數分學的很好的人，在實變上的迷茫期也就最開始的一段時間（也有可能在學數分的時候遇到了超好的老師，從那個時候就開始接觸測度這些東西）。個人覺得可以找一些實變最基礎的題，然後把答案找來，一邊看題一邊看答案的分析過程，這樣進步特別快！最重要是理解整個Lebesgue積分的建立過程吧，當自己能把握住大概脈絡後就比較輕鬆啦！
看別人解答很重要，加油
8樓：
上學期學的這麼課，老師一學期教了快一本書，第一次為了數學考試快把書背了下來，結果必然是滑鐵盧了。覺得並沒有學懂，但是感覺對改善思維挺有幫助的。對於實變函式，感覺不必因為學不好而洩氣，慢慢來就好了
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