1樓：Eldorado
先寫乙個，回家以後再補。
前幾天在羅特曼上看到的乙個我個人感覺極其迫真的例子：存在兩個不同構的有限生成群,每乙個都同構於另乙個的乙個子群。
又看到乙個迫真的例子，存在兩個不同構的域，其均同構於另乙個的乙個子域。
2樓：陳澤坤
懶得碼字惹qwqq
我會給出一些問題，但是細節呢，留給……
1.我們知道，如果乙個群有乙個正規子群和另乙個和它無交的子群，滿足，那麼我們就說是它們的半直積，這個時候被在上面的共軛作用就唯一決定了。事實上，我們經常用這個鬼方法來構造群。
那麼，你能找到乙個無法寫成兩個小群的半直積的群嗎~
2.3.我們現在想用一些其它的方法來構造有限群。
那我們就用有限域吧！
用有限域自然是簡單的，我們有好多種構造典型群的辦法。譬如,它是所有上的階可逆矩陣構成的乘法群。
譬如,它是所有上的階行列式為的矩陣構成的乘法群。
如果我們把的所有一維子空間拿出來作為乙個維的射影空間，那麼自然地作用在這個維的射影空間上，我們又可以得到乙個矩陣群，那麼我們叫它
我們可以證明這個是乙個單群，那麼問題來了~
你可以算出來的時候的嗎？
4.眾所周知，這個世界上只有（誒……有幾種來著）幾種正多面體。
對於每個正多面體，它的變換群（啊，就是那些把它的頂點映成頂點的那些旋轉，當然構成乙個群啦~）當然是乙個有限群。那麼，你能把每個正多面體的變換群求出來嗎？
5.如果群的乙個子群，它滿足存在一列的子群，後乙個是前乙個的正規子群，一直下降到,那麼我們就叫是的次正規子群
就是這件事,當然了，這之中每乙個不一定要是的正規子群.
如果是次正規子群，似乎我們總能夠不停地取的正規化子得到這個群列。但是事實上是這樣的嗎？
6.我們就離開群論了吧~現在來看看環喵
對於交換環的時候，我們是可以定義有限生成的自由模的維數的。也就是說這種事情是永遠不會發生的。但是在非交換的時候，這個事情對嗎？
7.乙個有限生成的模會有不有限生成的子模嗎？
8.是不是存在兩個不同構的環（模）和，
使得到有乙個單射，而到也有乙個單射呢？
9.滿射的情況呢？
10.直和因子的情況呢？
就是說，是不是存在兩個不同構的模和，使得是的直和因子，而也是的直和因子呢？
好吧這個問題我還不知道答案。。。
傷心欲絕
qwqqq
11.類似（但是並不容易的，來自珂珂的補充w）的,
這個反例好像還可以幹很多事情。。。
12.有限可分擴張是單擴張這件事情雖然是對的但是那個生成元總是好醜啊嗚……算過了才知道……
13.和
喵就這些叭~
3樓：十七畫
我發現過乙個比較有趣的例子（不過算不上非平凡。。。） 克萊因四元群的例子。
故事還得從我師兄和師姐坐同桌開始講起，有次路上聊天，師兄對我說：有個挺巧的現象，他的室友和我師姐的室友在另乙個辦公室也是同桌。 然後我說：這裡有個Z_2直和Z_2.
考慮4個元素的集合。 這個集合上的4個對映
構成乙個克萊因四元群。
後來我稍微想了下，如果他們位置沒有這麼巧的話，你只能得到乙個由 生成的自由群，即元素都是abababababab...這種的。 但生活就是這麼有趣，因為乙個克萊因群。
後話，師兄和我當時也挺開心的，算是稍微用數學說明了生活中的一種對稱性吧。 可惜畢業時候，忘記讓他們4個合影留念了。
4樓：moonlightmath
就先不說具體的了，主要是還不太會證…比如是PID但不是ED的例子
以及對偶模與自身不同構
當然簡單一點而又嚇著我的是有重根的不可約多項式
5樓：K.Zhang
時隔近一年，我又回來寫答案了。之前有想寫過龐加萊對偶，但是這貨絕對看書更好，我還是喜歡看得見的東西。
考慮置換群Sn，這個東西其實就是把n個東西換位子。比如說，n=3, 我們考慮1，2，3這三個數字，和（2,1,3）這個置換，但是，別急，我們這麼表示它：
這就是乙個braid了，叫它編織、叫它辮子，隨意。這個群，名字叫Bn，它比Sn「大」，因為它有類似於記錄資訊的功能。比如上面的這個編織，重複三次，你可以得到乙個不平凡的東西，但是如果是把這個東西寫作置換群的元素，三次得到的一定是平凡的。
下面給這些元素取名字。按下圖這麼叫。
的話，就是紅色部分的映象（在前兩個東西之間向左扭一下）。的話，就是藍色部分（在後兩個東西之間向左扭一下）。
其實很直觀地，我們可以看到它的群結構：
有對映自然不必多說。但是有對映就有點驚喜了。
這個對映是 。這是乙個滿射，而且" eeimg="1"/>
全劇終。
——慢著，還沒完呢。
其實B3的意義還在於它是三葉結K——就是下面這貨
就是這貨在三維球面(小心哦，別看錯了，這個東西是第乙個你看不見的球面）。補空間的基本群。
為什麼呢，因為
以下為原答案
說個最近比較喜歡的：
的有限子群分類：定理：的有限子群僅存在
i) , n階迴圈群
ii)，正邊形對稱群
iii) 正多面體對稱群
當然，通過群論的一些結果來考慮這個問題也是可以的，不過我更喜歡這樣理解：
直觀上，考慮的有限子群就是在考慮，在乙個二維球面上，完全對稱分布的點的位置以及作用在它們之上的群。
過原點的二維平面和單位球的交集，是乙個圓，考慮在上面對稱分布的點，就只能是等距分布的n個點，乙個正n邊形的頂點。
在這n個點上可以作用的群：考慮二維上，就是，考慮三維，就是。
如果沒有限制在這條赤道上，那麼它們就是嵌入在這個球面上的，正n麵體的頂點。
那麼作用在它們上面，就是正n麵體群。
正n麵體有五個，而我們注意，8麵體的面數是6麵體的頂點數；6麵體的面數是8麵體的頂點數,即互為對偶，而如果把它們的生成元素全部寫出來，這兩個群是一樣的（此處留作作業）。12和20麵體也相同。
（此處插入 @匡世珉 的答案，風味更佳。）
我對正六面體和正八面體的幾何解釋，匡同學講過了，而對於正12麵體、正20麵體，我認為影象並不是簡便的方法，寫出生成元素然後查表可能更有效:
" eeimg="1"/>,
其中表示繞乙個頂點旋轉,表示一條邊的對稱。組合，可以得到乙個面的對稱。其實前面的幾個群，也可以以這種形式寫出來：
i) " eeimg="1"/>ii)" eeimg="1"/>,其中r是旋轉，f是翻轉
iii) " eeimg="1"/>" eeimg="1"/>" eeimg="1"/>
是不是很漂亮呢？
那麼現在我們暫時忘記它們的幾何意義，只考慮代數性質。
接下來我們考慮" eeimg="1"/>點Cayley 圖，這個圖是什麼呢？它其實，長得很有意思：
放在三維裡，它長這樣：
（三維裡的正四面體，每個頂點改為乙個三角形，這個圖形的每乙個頂點都表示乙個群元素。幾何上算一下，就知道有12個頂點。）
類似地，" eeimg="1"/>畫出來，像是截了角的六面體。——是不是有點意思呢？
" eeimg="1"/>這個就是截角的12麵體了。
（抱歉，真的畫不來，大家可以自行腦補...等我修煉一下畫圖技術會加上的）
" eeimg="1"/>
它是什麼呢？
猜猜看？
它的階是多少呢？
——哈哈，我不欺負人了，直接告訴你它有無窮多個元素好了。
它的Cayley Graph是可以在二維上畫出來的（想象正六邊形的地磚，只是每個頂點改為乙個三角形，它可以無窮地鋪滿乙個二維平面。
這之後的延伸就是，這些群lift到。
考慮這個群，它的幾何意義很有意思，是，或者說的2-fold cover. (之前此處敲錯）。
那麼我們知道，的有限子群在對映 下，也應是有限的。那麼我們考慮所有有限子群lift到上，即可得出SU2的所有有限子群。
這些群一般的名字是. （注意：。）
（其中最容易引起誤會的是，它和同樣有24個元素，但是卻不是。這個的判斷方法也是群論中很巧妙的：看滿足 的元素個數。）
（雖然Cayley graph是寫出來了，但是並不感覺自己講得特別好，這個答案打算一直更新下去，寫一些代數裡好玩的東西。 @匡世珉 ）
6樓：「已登出」
adjointing one transcendental element to a finite field.
最簡單的non perfect field
7樓：
角動量(大霧)算麼?
和倆李群的同態對映, 還有對應的李代數的同構關係, 以及它們的不可約表示(Wigner D-matrix). 還有配套的物理意義(量子資訊), 正好描述了粒子, 或者說 Qubit. 正好刻畫了 Bloch Sphere 上的態的變換.
當然作為例子來理解李群和李代數的定義, 以及關係(指數對映)大概也不錯.
在學了點有限群表示論之後, 我就不能直視量子力學書上的角動量部分了.
8樓：Richard Xu
拋磚引玉，說個簡單的：（抽象代數）
拉格朗日定理指出，若H是G的子群，則|H| | |G|反之，若m | |G|，未必存在G的子群H，使得|H|=m姚慕生的書上在Sylow定理一節開始時，為說明這一點舉了乙個例子：
當n大於等於5時，交錯群An的階為n!/2能被2整除。但是，An沒有階為n!/4的子群，若有則該子群必是An的正規子群，這與An是單群矛盾。
這個反例沒說明什麼問題的樣子…只是用來引出Sylow定理，有關Sylow定理我記得知乎上有個不錯的回答。
但是反例所利用的知識比較有用，An在n大於等於5時是單群是伽羅華證明一元五次及以上方程沒有根式解的依據之一。
你在學習過程中犯過哪些錯誤？
差不多有4項比較關鍵的吧 1學習環境凌亂。學習環境亂，導致心情煩躁，以至於無法專心學習。先整理好東西在進行學習，其實會提公升不小的學習效率。2非要找到最好的方法才進行學習。以至於在尋找方法的過程中浪費巨多時間，然後尋找的方法也不一定是最好的方法，然後無限進入惡性迴圈。最好的方法就是直接去實踐 去學習...
高中英語學習過程中，你掉過了哪些坑，走了哪些彎路？
槐序廿八 態度決定一切，無論什麼科目，什麼階段的學習我們都應該有乙個正確的態度。我一直想說乙個大家都很長時間困擾的問題，就是背單詞。我記得高考結束後回學校看老師，在班裡分享高考英語的心得時，有個學弟問我怎樣背單詞。後來刷抖音發現有乙個老師回答和我當時的回答幾乎一模一樣 你有沒有想過你在問這個問題的時...
讀史過程中，你通達了哪些千古真理？
靜山 各位不妨靜下心來，隨我細細品來，遍觀諸子百家，各家各派，最是一 靜 功夫字要緊。大程夫子是三代後聖人，亦是 靜 字功夫 王文成亦是 靜 字有功夫。若不靜，省身也不密，見理也不明，都是浮雲。再追溯歷史的長河，老子也主張靜，管子也主張靜，佛家也主張靜，看來這 靜 字是貫通各家學派的一根主線，正是天...