1樓：南中國海的一條魚
長度是量度一維空間的量，面積是量度二維空間的量，體積是量度三維空間的量，當然，長度、面積、體積都可以被理解為「體積」，只不過是一維體積、二維體積、三圍體積，到了四維及以上，那就是四維體積、五維體積……
那麼到底多長算作 呢？在物理學中， 被定義為 振動 次所耗費的時間，進而將真空中的光速定義為乙個規定值，即 ，從而有了長度的定義。但是在數學中，乙個問題就是，如果兩條直線段不平行，那麼如何判定這兩條直線段的長度是否相等，它們之間的比值關係如何。
或者思考這樣乙個問題，假如光從原點出發，先沿著 軸走了 時間後遇上平面鏡發生反射，反射後光的傳播方向是 軸的正向，反射後光走了 時間到達一點（在這裡暫時記作 ），另一束光從原點出發直接照向點 ，所需時間為 ，請問， 是否滿足 ．
實際上這就牽扯到，數學中單位長度的定義。
本問題下回答中所提到了測度。數學關於線的長度的定義實際上就是在定義測度，這方面的內容可以學習一下《實變函式論》這門課。
當然，我也翻了翻實變函式的相關課本，只不過課本上的勒貝格測度的定義十分複雜，要經過一定的推導計算和思考才能理解。
不過我後來通過自己的思考想到了另一種定義長度的方法。
首先可以肯定的是，如果一條線段平行於座標軸，那麼它平行於哪個軸，就用哪個軸的座標差的絕對值定義長度即可。
然後，就是更普遍的線段的長度，那些「斜」著的線段的長度，如何定義呢。直接定義成 ，有點太粗暴了，而且長度的定義屬於歐式幾何的推理基礎，這樣的定義有勾股定理的影子，就會造成「勾股定理->線段長度定義->勾股定理」的迴圈論證的情形（個人見解）。即使我們定義向量的模長等於其範數，而範數是自內積的平方主根（算術平方根），我覺著也有些突兀。
但線性代數中提到的正交矩陣突然給了答主靈感。答主覺得，線性代數是代數到幾何之間的橋梁，可以說線性代數是幾何學知識體系的邏輯基礎。
逆矩陣等於轉置矩陣的矩陣，稱為正交矩陣。也就是說，正交矩陣和它的轉置的矩陣乘積，等於主對角線上的元都為1的對角矩陣（也就是單位矩陣）。而且矩陣本身就是行向量組和列向量組，所以可以把正交矩陣這個向量組中的每乙個向量都定義為單位向量。
有了單位，就有了給出度量值的標準。那麼我們可以這樣定義，若 ，其中 是單位向量，則 。這樣我們就可以避免「依賴勾股定理計算線段長度」。
而且可以證明，按這個定義， ．
以上均為個人見解。
2樓：暗金
首先說什麼是度，我們常說做什麼什麼事情要有個度，不難理解，這個所謂的度是乙個標準，過了這個標準，可能會更好，可能會更壞。
在數學領域，度的概念其實等價於度量單位，比如公尺，厘公尺，公釐，平方公尺，立方公尺，數不勝數。
長這個概念是相對的，有長就有短，長度就是來衡量乙個物體的大小的數學單位，比如桌子的長度，一根筆的長度，你可以這樣理解，除了點，任何能觀測到的物體都有它的長度。
這也是數學中的概念，首先，面是由線組成的，有線就有長度，你可以人為一張紙是由許多個線堆積成的。
面積的積也是如此，所謂積，就是兩數相乘所得的結果，所以我們計算某個物體占用位置大小就是用面積來描述的。
3樓：李恆然
這是回答不是答案：
與其說這是數學問題，不如說是哲學問題。
從一維世界的角度來說，整個世界就是有一根線條組成，這根線條沒有上下左右，沒有彎曲摺疊，就是一根線條，唯有長短存在，理論上，這根線條長短的變化就是時間，那麼長度，就是一維世界用來篆刻時間和能量流失的唯一單位。
從二維世界來看，你可以想象成線條現在可以在一張無限大的紙上平行疊加了垂著等等，這樣的話，就會出現X\Y軸，就會出現線條交叉後形成的幾何形狀（先不要去費腦細胞想圓這類特殊形狀），這些幾何形狀對二維世界來說，就是記載了時間和能量的變化，而記錄這些的單位，叫做面積。
寫了不少，總感覺有些囉嗦，但也無法更加簡化了，否則覺得講不清楚，對不對就這樣吧，算是第一次給知乎一些回饋：）
4樓：郝智恒
如果從測度論角度來講，長度可以定義為一維空間中的Lebesgue測度，面積可以定義為二維空間的Lebesgue測度。當然我覺得我個人的這個答案真的很無聊。
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