1樓：
其實你自己給出答案了。
等式的左邊是等比數列，套用求和公式即可；
右邊長除法，很自然的得到結論。
至於你後面說的，覺得這個解釋太簡單，還是不知道為啥這個無限數列的算數和可以？剛好？永遠？保持？這樣的規律？不變？
這不就是數學該有的樣子麼，既然是用數學等式把左中右三個串起來，他就該是這樣子啊，可以永遠保持規律不變。
分割線看了題主的補充，你似乎是對極限的理解有一丟丟問題，計算到第8,30,50項，發現求和出現越來越多的142857的迴圈，所以心生好奇，為啥一直是這個，為啥不是別的，有沒有例外？
對極限的理解，根據受數學教育水平的不同，我這裡粗略的分幾個層次
學完高中數學（極限部分，會求導，或者簡單積分），這個時候只知道基本概念，書上這麼寫，高考這麼考，也不用去追究很細的東西。
2. 學過高數，對極限會有更深的一些理解，主要是指柯西極限定理，但是高數的教學以計算為主，理論為輔，好多人只知道那是定理，拿著用就行，不需要管那個怎麼證明，為什麼是這樣，為什麼有這個奇怪的 語言？
3. 學過數學分析，這主要是數學專業的內容，理論為主，計算為輔。到處都是證明，還變著花樣的證明，以實數系的七大基本定理為最，要求七個之間互相能證明。
柯西極限定理，只能算是這七個中間的乙個推論。
鋪墊玩了，題主可以自行對照，我相信在第三層的人應該不會對這個問題感到奇怪，這也是為什麼之前說，這是他該有的樣子。
如果需要對本問題具體解答一下，為什麼會出現142857的迴圈，可以先考慮移個項，
證明：∑(1,∞)7×2×10-1/7=0
設其中 是餘項，也就是第1到n項的和與 的差值。
當 ,這個餘項以指數級別趨向於0.
用極限的話來說就是
題主問題中，計算了前8,30,50項，他們與 的差值，就是我這裡面的 。
至於為什麼到了 那麼容易看出142857，項越多，142857越多。是因為 收斂的速度極快，所以稍微計算前幾十項就能很容易看到效果。
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