1樓：四月是你的謊言
所謂連續，也是相對的，比如說你研究流體，微元是一小團分子，雖然本質上這個世界上就沒有什麼東西是連續的，但是你研究巨集觀流體，就忽略了分子與分子的間距，所以也就是連續的，連續可導，才可以用微元的概念來處理吧（這只是我個人的見解）
2樓：獨行
微元體推導是嚴謹的，因為即使保留高階小量在取極限也會等於0（dx,dy,dz→0）（不是應力應變的高階項等於0，而是泰勒展開時產生的dx,dy,dx的高階項）。
彈性力學的近似在於小變形假設，將變形後的物體和變形前的物體形狀等價，即柯西應力和柯西應變在未變形物體的微元面上求的。
另一點是，推導任意方向上的應變是，將應變的平方等於0。
當然微元體能否取到足夠小是另乙個問題，彈性力學有連續介質假設，考慮的是理想模型，如生物力學單元體就不能取到無限小。
3樓：沉迷自拔
微元體的本質是高維微分方程中的高維函式（如三維位移、應力等）的全微分，由所謂無窮小的 dx、dy、dz 和這些高維函式的 Jacobian（即高維偏導數）結合而成。為了便於工程師理解，Jacobian 張量在理工科書中通常會被用微元體來描述，許多力學教材裡還會貼心地附上對應的三維張量圖，標出三維立方體各個面的分量。而事實上，真正重要的從來都是 Jacobian 而不是全微分，因為在微分方程裡我們只有 Jacobian，全微分對我們沒卵用。
實際上，你對於微元體嚴謹性的懷疑是有價值而且正確的，因為微元體、或者說infinitesimal這個概念的不嚴謹性直接導致了第二次數學危機！這也是為何現代高數書用看上去有點繁瑣且不直觀的極限來定義各種微積分概念而不用模稜兩可的微元，就是因為極限在邏輯上嚴謹自洽。而像 dx、dy、dz 這些我們從萊布尼茲那裡繼承的、習慣性稱為微元的東西，它們其實並不是無窮小的量，而是可以是任意大小的，因為重要的從來都不是它們的大小，而是當它們和某函式 f 的一階導數結合在一起時，表示了乙個非線性函式 f 在指定點的線性分量 df 。
這樣當 dx、dy、dz 任意變化大小時，線性分量 df 也是線性變化的。關於這部分詳細的你可以參考 Richard Courant 的 Introduction to Calculus and Analysis，這本高數書裡詳細介紹了這些被國內教材和教師忽略的重要細節。
雖然邏輯上並不嚴謹，微元體本身依然是有很大存在價值的，它最大的作用就是可以幫助你直觀地理解各種結構中非線性量的區域性變化和其各方向分量的相互作用，以此理解事物的本質。畢竟，對於工程師和物理學家來說，直覺是極其重要的東西；沒有直覺的話，牛頓和萊布尼茲當初也發明不了微積分。因為微元體的實用性是得到極限概念的理論支撐的，所以可以放心使用。
你只需要時不時提醒自己，這微元體本質上不是無窮小量，而是個函式的線性分量。
4樓：
如果你考慮到物質是由原子構成的，並沒有數學意義上的無限小微元，那麼確實有不嚴謹的地方。但是你要知道，原子如此小，忽略其大小帶來的影響對於實際應用而言完全可行。
如果你單純考慮微元法的數學基礎是否嚴格，那麼毫無疑問是嚴格的。
5樓：神人昊哥
我看好像幾乎沒人直接就彈性力學回答這個問題，還有大佬提到了廣義連續介質力學，其實沒必要搞得太高深。
初學者看到教材中的六面微元體模型如果不心生疑惑，那說明是沒有養成理性思維的。因為很多教材對這個所謂幾何直觀的基本假定（應力分布只與面法向的位置變化有關，而與麵內位置無關）缺乏解釋。但是的確可以用積分法這種嚴格的數學描述來證明用微元法分析場變數的結果是正確的。
不妨這樣想，假如這個六面體不再是微元體了，而是乙個具有常規幾何意義的六面體區域，並記為 ，並給予限定條件：這個六面體必須滿足點 （甚至可以再進一步限定為 在六面體中心）。可以自然考慮這個六面體的動量平衡，那麼寫出來的就是乙個積分方程：
其中 表示面應力（表示一點應力張量， 表示法向量）， 表示體力， 表示密度，表示加速度即位移關於時間的二階導數。
利用散度定理可以得到：
利用積分中值定理， 使得，容易知道存在收斂於 的點列 （存在對應的一列六面體區域 ，不妨令其滿足 ，且 ，其中 ）
（這裡利用了連續函式極限的Heine敘述）
由於P點的一般性，因此 是全場的性質。
以上推導在數學上是嚴格的。以此為基礎，下面我把它形象化。
上述六面體如圖所示，考慮六面體三個方向上的長度分別是 （暫時還不是圖中的 ）。並記麵CBFG為 ，面ABFE為 ，面EFGD為 ，面OAED為 ，面ODGC為 ，面OABC為 。
則積分方程在y方向上的分量可寫為：
同樣利用積分中值定理，使得
其中： ，
由之前取極限的結果可以知道，上述方程在 後為：
即 我們根據已知的極限，考慮 做多元泰勒展開，可以知道除了 （消掉了）和 這兩項，其它的都是高階項。
而六面微元體正是對應力做這樣假定的：以y方向兩個面和為例，應力在麵內是定值，因此可以表示為： 與 ，二者之差為 。
x方向和z方向的平衡方程同樣如此。通過對比就會明白六面微元體上的應力做出的假定都符合上述取極限的結果。
最後再補充解釋一下為什麼泰勒公式保留一階項。這是可微性的本質：即自變數變化引起的因變數變化可由自變數空間至值域空間的線性對映近似，且誤差為一階無窮小量。
當 特別小的時候， 約等於 ，即 。而微元體是極限運算後的，誤差取得的極限等於0，因此保留線性項計算就是精確的。而廣義連續介質力學，則涉及到對微結構的刻畫，因而在數學意義上， 不再是 ，因此建立的是高階理論。
有了上述分析，便可知道，教材上的六面體微元模型其實都是精準的。但是課本並沒有充分解釋這樣處理的合理性，彈性力學課程中也並不考察這些。因此力學專業真的有很多考試成績很好的人把科學學成了宗教。
執迷於物理影象，而欠缺數學上的嚴謹，依賴直覺而放棄對數學的感知力，終究是通向理性科學的絆腳石。
6樓：niantansuxing
現代非線性力學的求解基本都是數值方法完成的，迭代演算法是非線性力學求解的一大跨越，儘管增量變分式已經成功推導半個多世紀了。
7樓：Peter Griffin
我想從另乙個角度回答。也許對提問有些起發。
首先這個假設絕大多數對應的都是小變形。對小變形，從工程應用來說，泰勒展開保留前1-2項基本就夠了。
無論是運動方程還是本構方程，如果不是純解析解，基本落在最後的計算，都是剖格仔和迭代（包括但不限於有限體積、有限元，格仔波爾茲曼等），這個格仔就可以看成微元，當微元分析足夠收斂就可以，這部分建議參考數學分析課程。
剖完格仔之後單元格的二階小量基本就已經達到了精度需求，漏洞在於格仔自帶的剛性特徵和迭代的數值耗散，所以一般會對格仔形態和時間步長會有很多特定的要求。
8樓：
力學在求解時大部分都是在解空間函式對應的微分方程，微元體類似於空間函式的某乙個點，微元體實際上是該點的乙個具象的實體。泰勒展開是構建求解微分方程方法的乙個過程，略去高階一般涉及具體的精度。在非區域性方法裡也有省略顯式通過泰勒展開構建求解的方法，有的要涉及展開的卷積運算。
9樓：光頭小海怪
如果題主覺得忽略高階量的方法不嚴謹，那麼不妨回想高中時學導數的時候，為啥能用微元三角形的割線斜率近似計算切線斜率。
事實上，微分的思想最厲害的地方，就是在微分的意義下，線性部分是唯一需要考慮的部分，而高階量全部可以嚴謹地忽略。微元法不過是把線性量幾何地表示出來罷了，在理解微分的意義後會發現實際上是嚴謹的。
力學方程基本上可以歸結為微分的關係式，在這種情況下要用微分的角度看問題，而不要用非線性的直覺。
10樓：賈明子
流體力學中的連續介質假設在巨集觀上沒有什麼問題。但是我真不知道題主所說的「泰勒展開忽略高階項」在流體力學的推導過程中有那些地方用過。
11樓：
這裡僅就我熟悉的《統計力學》中的一些例子做一下說明。
還有類似的情況，是黑體輻射，往往用乙個方形諧振腔，演示駐波及其模式。實際上，Hermann Weyl 曾經證明過，[2]對任意形狀的空窖，結論不變。但是這個定理的證明非常困難，王竹溪和林宗涵書裡都沒給出，只是給了參考文獻，這也就不容易了。
這個參考文獻我也沒看過。蘇汝鏗的《統計物理》用的是基爾霍夫輻射定律，避開了空窖形狀問題。看上去也很好，我也沒有深究過。
所以詳細推敲的話，學生接受起嚴格的數學證明來，可能會有困難，也會帶偏學生的注意，不容易在一學期內讓學生學完課程。我在CalTech學AMO也是如此，求解含時微分方程的時候技術忘記了，好在有QuTip，速度做完作業，跟上講課進度。
回到我講授的統計物理課，大部分學生喜聞樂見的是盧文發老師的書或者馬本堃、高尚惠的書的內容，不想往前走了。很多同學恨不得就活在Boltzmann統計裡。所以我覺得只要最後結果是對的，從教學法來看，採用研究乙個小方塊裡的事解決問題，讓學生快速掌握結論，能做習題，特別是能夠考試，倒是無可厚非（但是不宜忽悠學生，說這個小方塊的方法有多麼完美啥的）。
負責任的老師可以給出參考文獻，讓學有餘力的同學自己參考，說不定會培養出幾個像楊振寧那樣，本科時就喜愛微分幾何的學生也說不定呢。
關於略去高階項，有兩種情況：
一種是運用 語言，可以嚴格證明，在自變數趨於定值的情況下，取線性項得到的函式值的誤差可以無限小，那麼就是嚴格的。
12樓：substeps999999
是嚴謹的。你可以回顧一下高階無窮小的概念，當dx趨於0的時候(dx)^2/dx自然也趨於0，多維情形同理，也就是說此時無論忽不忽略二階或以上的小量結果是一樣的。
至於計算力學，網格單元是有一定大小的，這時高階項才會有作用，因此這時候才會有人讓你用高階形函式，如在結構中劃分二階單元，在流體中用二階迎風格式等。這和以連續體為研究物件的理論推導是兩回事。
13樓：「已登出」
應該看你是研究設麼尺度的吧，微元法其實還是為建立數學模型而非物理模型服務的，因此連續介質下應該是合理的，但如果考慮介觀那可能微元法就不那麼適用了，也就是要換新的數學手段了。
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