幾何朗蘭茲綱領與楊公尺爾斯理論之間的內在聯絡是什麼？

1樓：

以前花了很多時間看過幾遍，做了思想體操，也就一知半解吧。除非有人手把手指點，否則不建議做數學的或者物理初學者看這文章，得不嘗失。這是一篇物理語言的文章，純數學的根本沒機會看懂，物理初學者看起來又迷迷糊糊不了解數學背景。

Quantum fields and strings: A Course for Mathematicans 上面Witten的三個講義都是他拿手的東西，可以作為看這文章和後續文章的基礎。建議量子場論基礎不錯的好好學學這三個講義並讀讀後面引用的文章，不管做物理哪塊都會有幫助。

朗蘭茲綱領要建立一般數域上伽羅華群表示和自守表示的聯絡，幾何版本就是把數域取為定義在黎曼面上函式域，這時候很多數學工具能夠用上來。數學家以前用Affine 李代數的方法做幾何朗蘭茲，自然可以用二維共性場論(黎曼面)來實現，偏代數。這篇文章是用4維N=4，SYM理論實現這個幾何朗蘭茲對應，偏幾何。

實際上四維SYM跟兩維CFT有很多聯絡，最典型的例子就是AGT對應。

Witten用場論實現如下幾何朗蘭茲綱領最重要框架：幾何朗蘭茲對應一邊是伽羅化群，另一邊是是D模；其它重要概念Heck運算元，Heck對應。他把畢生絕學都雜糅在一起了，說真的有點很人為的感覺，用了下面一些技術：

2，電磁對偶（S-對偶）把Wilson變為t hooft運算元（Heck 運算元）

3，四維到二維的約化，二維到四維的提公升，看需要經常在變，這裡很容易暈。

4，Heck 對應通過乙個帶邊界四維流形兩端實現

5，D模通過抽象的膜的量子化實現

6，順分歧（一階奇點）情況引進面運算元，此文後續第二篇

7，野分歧（高階奇點）情況引進場論的解析連續，此文後續第三篇

上訴1-7點Witten及合作者在後續都進行了非常系統和深入的研究並寫了一系列長文，也激發了其它一些理論的進展。比如：

1，Fivebranes and Knots(Khovanov homology of knots)

2，Gaiotto 的N=2， S-duality工作就啟發和經驗於他跟witten合作了幾篇 S-duality and boundary conditions的長文。這個對偶又激發了AGT對應。

3，V.Pestun 在四維球上區域性化計算就是Witten指導下做的，其出發點就是關注非局域運算元。

沒想到跟著導師讀這個文章已經過了這麼久，老一輩科研工作者真是讓人敬佩啊，執著，努力，純粹。國內有老師對一部分內容比較了解並作過專門研究，物理的也有人對 Gaiotto 對偶，AGT對應都做過一些工作。