1樓：阿列夫零
先解決題主最主要的問題好了：證明下式
左式 同理，左式
以上是對一部分不定積分做分部積分得到的。我想到這裡題主應該看出問題了：怎麼上面的結果多了一項，下面的結果不但多了一項，符號還是反的？
到這裡我應該遺憾地告訴題主，你的猜測是錯誤的——三個式子並不相等。但是問題遠沒有結束。
定積分與不定積分
定義假設函式 在區間 上是黎曼可積的， 是區間的乙個劃分，那麼下面式子被稱為黎曼和：
；我們若記劃分的精度為 ，那麼以下黎曼和的極限若存在，就把它稱為函式 在區間 上的定積分：
而不定積分是求導的逆運算。即已知 ，求解哪些函式 滿足 ；不過由於所有相差乙個常數項的函式的導數都相同，這個對應是多值的，不是乙個對映，所以我們只能退而求其次，使得不定積分的結果是乙個由所有滿足條件的函式構成的乙個函式類。
乙個是函式類，乙個是級數和的極限，兩者本質上可以說是風馬牛不相及。但是由於微積分基本法，兩者被欽定了以下關係：
回到一開始的問題，在極座標系裡求乙個圍繞極點的區域面積時，我們實際上是求乙個 上的定積分的值，而不是乙個不定積分。意識到這一點，我們運用微積分基本定理，發現一開始最左式子
在加上積分區域後，第乙個等式終於成立了。
然而，第二個式子即使換成定積分後，兩邊還是差了乙個負號。這是什麼原因呢？
碼字有點累，等我改天有時間再續......
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