1樓：王希
這個問題是乙個典型的數學建模問題，我來試著做一下吧！
一、模型簡述
我們假設有n支隊伍需要排名次，為了簡化問題，我們讓他們兩兩對決，然後在每次比賽只分出勝負而不計比分和每次比賽計比分兩種情況，建立不同的模型來解決。其中前者引入競賽圖，通過雙向聯通競賽圖的性質解決；而後者則利用比分矩陣的性質解決。
二、模型假設：
1.不考慮「場次最少」，使之兩兩對決，進行n(n-1)/2場比賽；
2.模型1中比賽是沒有平局的，模型2中可以讓每場比賽的比分均不等。
三、模型建立及求解
3.1 模型1的建立及求解
在模型1的情況下，我們用圖來表示比賽結果。令圖的頂點表示球隊，而用連線兩個頂點的、以箭頭標明方向的邊表示比賽結果，由勝方指向負方。如圖所示：
即1隊戰勝了2,3隊，2隊戰勝了3,4隊等等。
排名辦法之一就是在圖中順著箭頭找一條通過所有4個點的路徑，如1->2->3->4，然而這種路徑不止一條，如還可以找2->4->1->3，所以這種方法不能決定排名。
另乙個方法是計算得分，即勝利次數。比如上圖中四支隊伍得分分別為2,2,1,1,；然而1,2兩隊，3,4兩隊之間就無法說明了。
為此我們用圖論知識來解決這個問題。
競賽圖及其性質
所有邊均有向的圖叫做有向圖，每對頂點之間均有一條邊的有向圖稱為競賽圖，問題歸結為如何由競賽圖排名次。
2個頂點的競賽圖顯然可以排出。
3個頂點的競賽圖有兩種情況，如下圖所示：
（2）這種情況2顯然第一，其餘3點滿足上文中3個頂點競賽圖的第1種模式，所以排名為
(3)同(2),顯然名次為.
(4)如下圖所示，有不止一條完全路徑，無法簡單地排序。
注意到（4）具有前三者沒有的性質：對於任意一對頂點，存在兩條有向路徑，這種有向圖稱為雙向連通的。
可以證明，所有競賽圖均可歸為以下三類中的一類：
1.有唯一完全路徑；
2.雙向連通；
3.其他型別。
其中1的排名為唯一完全路徑，3中必有對稱情況，並列後可轉化為1或2，所以重點研究2的情況。
雙向連通競賽圖名次
定義競賽圖鄰接矩陣如下：
如果從頂點i到j有一條有向邊
0，else
則上圖中雙向連通圖的鄰接矩陣為
有n個運動員，同一專案同一標準下進行競賽，i與j的得分之比為,如何排序？
我們設每個運動員的評分向量歸一化後的結果為，則,比分矩陣
就變成了
則有,又稱權向量。由於矩陣特徵值之和等於主對角線元素之和，又主對角線元素之和為n，這說明n是A的最大特徵值，稱為主特徵值，對應的特徵向量稱為主特徵向量。
那麼主特徵向量是否一定存在呢？答案是肯定的。尋找的方法是迭代法，證明下文馬上給出。
3.3極限得分向量存在性證明
對於n個頂點的雙向連通競賽圖，存在正數r使得鄰接矩陣A滿足0" eeimg="1"/>,這樣的A稱為素陣。
由Perron-Frobenius定理，素陣A的最大特徵根為正單根，其對應的特徵向量為s，且有
所以模型1,2的最終結果都是其矩陣的最大特徵值對應的特徵向量，在實際中，往往採用迭代法來求此特徵向量。
四、模型修正
在上述模型2中直接使用A矩陣是有道理的，但是仍然有不合理性：因為加權向量是各隊水平之比，而結果卻是各隊的得分。因此更好的方法是讓某個矩陣B的元素代表二者真實水平之比，那麼問題來了，怎麼計算B？
乙個很自然的想法是上述得分的比值，即,但是這樣仍然有乙個問題，就是萬一分母為0怎麼辦。我們可以假設每個隊伍有乙個基礎的分數（知乎的排名演算法對贊同數為0的答案無效，因此採取的辦法是預設回答者對自己的答案有一票贊同）a，那麼令
再用B的特徵向量計算排名會合理很多。
五、參考文獻
[1]姜啟源，謝金星，葉俊，數學模型。北京，高等教育出版社，2023年1月。
[2]王樹禾，數學模型基礎，合肥，中國科學技術大學出版社，2023年5月。
[3]陳理榮，數學建模導論，北京郵電大學出版社。
[4]Perron，Perron定理，維基百科。
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