1樓：qiaonantz
關於數學符號的使用，國家有一套標準的，具體可查GB3102.12-93 物理科學和技術中使用的數學符號。這套標準的總的原則是變數用斜體字母表示，有明確意義的量或常量用正體表示，比如圓周率，虛數單位i，自然對數的底e，微分表示中的d，等等，在比如一些常見的數學函式也用正體來表示，sin,cos,ln,log,arcsin等。
向量用小寫的黑斜體字母來表示和矩陣用大寫的黑斜體字母來表示。這樣要求一方面是為了使得出版物中數學符號的表達規範統一，另一方面也是為了方便閱讀與理解。
至於手寫就沒有什麼硬性的規定了，也沒有必要。因為手寫稿的讀者大多可以比較方便地判斷出其所寫符號的含義。如果為了方便其他人理解，可以通過新增一些相應的文本來處理，比如，向量x,矩陣M等。
2樓：
有一些約定俗成的習慣. 下面隨便列舉一些:
函式和數學常數用\mathrm格式, 變數才用斜體. 對比和, 後者是嚴重不符合習慣的. 在知乎上經常看到類似後者的寫法.
有些嚴格遵守這個規定的人指數函式也要寫成而不是, 虛數單位寫成而不是, 微分寫成而不是. 我比較偷懶, 這些細節通常不太在意.
物理單位用\mathrm格式. 對比和, 後者也是嚴重不符合習慣的. 在LaTeX一般直接使用SIUnits巨集包.
行內公式的分數最好寫成而不是. 這個問題在知乎上不明顯, 但在LaTeX中後者會很明顯地縮小成一團, 很不美觀. 類似地, 除非特別寫成連分數, 分數中的分數也躺下來寫.
對比和.
括號盡量使用\left(和\right), 尤其是括號內有比較高的公式的時候. 對比和, 明顯前者更加美觀.
Dirac符號據說應該寫成\left.\langle\right|和\left|\rangle\right., 而內積中間的一橫也要寫成\mid.
但我感覺這樣空太大了很醜, 通常就是|\rangle或者\langle|. 對比和, 和. LaTeX可以直接使用braket巨集包.
希臘字母epsilon更多寫成\varepsilon而不是\epsilon. 對比和.
在數學中, 用\mathbb表示數域: , ; 用\mathcal表示範疇或者描述漸進行為的大O記號: , ; 用\mathfrak表示李群對應的李代數:
, ; 具體對映用\mapsto而不是\to: 和. 數學上這樣的習慣還有很多, 不能一一枚舉.
類似地, 在物理中, 用\mathcal表示Lagrangian density, 用L表示Lagrangian, 對比和.
一時半會就想起來這麼多. 除了前兩條說的, 其他大多比較隨意.
更多的細節可以參考這篇專欄: 強迫症玩轉 LaTeX - All about TeXnique - 知乎專欄 實在是強迫症晚期患者的福音.
至於題主的問題:
高中數學教材上好像說, 向量\vec用在手寫, 印刷用\mathbf (←這是粗正體. 劉海洋指出向量的印刷應為粗斜體: \bm. 對比: 和).
\hat表示單位向量/方向是習慣.
用\dot, \ddot表示導數最早是Newton發明的記號, 也就一直流傳了下來, 在力學裡由於要碰到類似的東西, 如果不用\dot寫起來會比較麻煩.
微分算符加\vec確實也只在物理書上看到過. 物理學家還用雙箭頭表示張量: , 這也很少在數學書上看到.
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