1樓：Belleve
乙個球可以拆分成有限個部分（雖然每個部分都長的很奇怪）後通過平移旋轉操作，拼成兩個完整的，半徑相同的球。
證明的思路是這樣的：
我們考慮用 ↑↓←→ 構造字串，唯一的要求是：↑↓（或者↓↑）不能相鄰，←→（→←）不能相鄰，如果相鄰了，就把這一對箭頭去掉。於是我們製造了乙個叫做 F2 自由群的東西。
我們需要把 F2 自由群對映到旋轉操作上，這不困難——把↑↓定義成繞著 x 軸旋轉 1 弧度、←→ 定義成繞著 z 軸旋轉 1 弧度就行了。這樣，F2 自由群裡面的每個字串都被對映成了乙個旋轉操作。我們把這個旋轉操作組成的群記作 H。
H 上面每個操作（除不動外）都會有兩個不動點，這些不動點（包含球心）比較煩人，我們先挖掉，記作集合 P。P 的數量「足夠少」以至於我們可以在之後把它給補全。球體除開 P 的部分記作結合 S。
因為 H 上的每個操作都有對應點逆操作，所以兩個點可以通過 H 裡的操作聯絡起來是乙個等價關係，根據選擇公理，我們可以在 S 內給這個等價操作選取一組「代表」，使得 S 種的每個點都可以通過 H 上唯一的乙個操作變換到某個代表上。我們把代表記作集合 M。
我們考察從 M 變換到 S 上其他點的過程，這樣可以把其他的點拆成四個組：
從 M 經由 H 操作，不屬於 P，且最後一步是「←」的點集 L
從 M 經由 H 操作，不屬於 P，且最後一步是「→」的點集 R
從 M 經由 H 操作，不屬於 P，且最後一步是「↑」的點集 U
從 M 經由 H 操作，不屬於 P，且最後一步是「↓」的點集 D
那麼我們把集合 L 應用一次「→」旋轉，根據自由群的性質，我們相當於在 L 種對應的每個操作末尾增加了乙個箭頭「→」，它和左邊的「←」相互抵消了，於是我們相當於擦掉了 L 集末尾的乙個箭頭——於是它變成了，於是我們可以用它和 R 重建乙個「缺了一些」的球 S。
根據前面的推導，「U↓」應該等於，多了乙個 M。不過不要緊，我們可以取出 U 裡面所有從 M 開始，完全用「↑」得到的點 U'，集合「（U-U')↓」將會得到，配合剛才抽出來的 U', D 和 M，我們也重建了 S。
缺少的 P 並不是個大問題——對於第乙個球，我們可以把 P 直接塞進去；第二個球稍微麻煩一些，此時 P 可以對應成若干個圓形「軌道」上面缺的洞，很容易通過旋轉 1 弧度補上。
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