什麼是埃爾德什差異問題

1樓：

埃爾德什差異問題由數學家保羅·埃爾德什（Paul Erds）在2023年提出的猜想，指的是在任意只由1和-1組成的無限數列中，能找到項與項間等距的有限子列，使子列各項之和的絕對值大於乙個任意大的常數C。

乙個初等證明：（極有可能是錯誤的，請知友指正）

S 是乙個有無限元素的集合，每個元素是乙個無限序列，每個序列中的元素要麼是1，要麼是-1.

從S中任意取乙個元素，命名該元素為 LIST.

１。複製LIST　[...11....] k次 (k是奇數），分別向右移動１s，２s... ks個單位。形成如下隊形：

[...1111....] 右移動1s個單位的結果

[...11....] 右移動2s個單位的結果FINAL= [.....a.....b.....]

２。把Ｋ＋１個ＬＩＳＴ相加，得到乙個新列表ＦＩＮＡＬ：任意取乙個元素a，它的值必然在[-K-1,K+1]之間，不難證明：

|a| 不可能是奇數，而且｜a｜= 0 的概率最大，其次是｜a | = 2 ,... 其中｜a | = k+1的概率 [記為P(k+1) ] 最小，雖然很小，但大於０。P(k+1)只和變數K有關。

３。因為ＦＩＮＡＬ中元素的個數是無限的，所以必然存在乙個元素b，| b | = k+1。（實際上存在無窮多個這樣的元素）

４。令Ｋ > C，得到｜b | > Ｃ。

５。這個等價與ＬＩＳＴ中必然存在Ｋ＋１個相隔 s （即等距）的１或者－１。

６。取這Ｋ＋１個數，即滿足猜想的要求。

證畢。

證明是錯誤的嗎？

推廣：同理可證：若無限數列中任意元素a （a 為複數或者其它什麼未知的數，只要有絕對值的定義）, 都有｜a ｜ >　０，那麼，必然存在乙個等距的有限子列，其和的絕對值大於給定的常數Ｃ。

更強的是，如果ＬＩＳＴ中存在無限多的元素a, 滿足｜a ｜> 0, 那麼即使存在無限多的元素b, |b| <= 0 ( 絕對值小於0，也許是可能的，看如何定義乙個未知資料的絕對值了），結論也成立！（這個結論太不可思議了！）

2樓：

所以說有些人啊，總是喜歡搞個大新聞。

Tao+Erdos合起來，配上乙個部落格學術。簡直帥呆了。

結果那麼多人微博上跟風轉來轉去，連個arxiv號都不掛。

數學科普還任重道遠啊。

回到正題，先上arxiv http://

arxiv.org/abs/1509.05363然後搬運一下具體的問題：

考慮序列，取值為，即.

Erdos是問這個量，即所謂的差異

對任意的f，是否無限。

Tao證明的版本要比這個強得多。

他證明了向量值序列的版本：即設H是乙個Hilbert空間。若f是取值與H上單位球的序列，即

差異總是無限的。

作為推論，取，原命題就成立了。

證明中的技術和結果的意義我一概不懂，僅作乙個勤勞的搬運工。