1樓：白不更
其實我小學的時候看過一本引導小孩對數學的書上有過這問題，當時解答巨簡單，可惜已經忘記了。也不知道下面的說的對不對了，老夫已經看不懂了。。
在CSDN上找的：
清華的結果
設狗游泳的速度為1，半徑為1。（這裡都歸一化了）。設a=1/n。顯然在半徑小於a的區域
小狗繞圓心的角速度可以大於老虎的角速度，因此小狗總可以到達半徑為a的圓周上而且
同時保持和老虎關於圓心相對的位置。顯然這是最有利於逃跑的位置，我們以此為基礎
來計算後面的逃跑過程。
定義乙個函式B(r)=a*(theta)-(1-r)
其中theta是老虎和小狗對圓心連線的夾角。當小狗走出半徑為a的圓後，此夾角就隨時間
推移而減小。注意到B(r)對應的是小狗從該位置沿半徑向圓周運動時到達圓周所化時間和
老虎到達該點時間之差（老虎的減去小狗的）。初始值為B(a)=PAI*a-(1-a)。
如果在某個r處(0 0則此時小狗沿半徑跑的話老虎就無法追上它。因此，我們
需要確定的就是小狗沿怎樣的軌跡運動才能使B(r)盡快的增大直至大於零。
設小狗在半徑為r處時向與半徑成delta角的方向運動（顯然應背離老虎追過來的夾角方
向），則有下列微分式：
drcos(delta)* dt
d(theta) = dt(1/a - sin(delta)/r)
dB(ra* d(theta) + dr
1-a*sin(delta)/r+cos(delta))* dt
所以： dB(r)/dr1-a*sin(delta)/r)/cos(delta)+1
此式的最大值當sin(delta)=a/r時達到，為： 1-(1-a*a/(r*r))^(0.5).
注意到此式始終大於等於零，所以小狗在每一點都沿該式取最大值的方向運動下
去的話，到打圓周時就能和老虎到達的時間盡可能的相隔較久。現在我們來求這個時間差
： 把B(r)對r從r=a到r=1求定積分，得：
B(1)=B(a)+(1-a)-a*tg(arccos(a))+a*arccos(a)
B(a)+(1-a)-(1-a*a)^(0.5)+a*arccos(a)
PAI+arccos(a))*a-(1-a*a)^(0.5)
小狗逃脫等價於B(1)> =0。
令B(1)=0即得出小狗逃脫的上確界為該方程的數值解，用計算器疊代兩次得到
a約等於0.217233628，對應的n=1/a約等於4。603338849。
還有用幾何方法證明的：
可以用幾何方法來解，可以證明，在小狗到達半徑為a的圓後，只有沿該圓的切線
方向逃逸才是最短的路徑，從而可列不等式
（1-a*a)^1/2= <(PAI+arc cosa)/n
即 PAI+arc cosa)*a-(1-a*a)^1/2> =0是可以逃出的條件，和用數值方法的結果
完全相同
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