1樓：abccsss
我給乙個證明思路吧。
其他答主已經提到了，只需證明凸多邊形的情況。
首先指出，凸多邊形的周長經過拉伸以後一定會增加。
就像這樣。我們首先縱向拉伸小多邊形，直到不能再拉伸為止。這時兩個區域的邊界出現至少兩個公共點。
將兩個公共點連起來，把圖形分成兩半，於是只需證明每一半裡面，小多邊形周長小於大多邊形周長。變成下圖這個樣子（這是上圖的左半部分）。
然後，我們繼續縱向拉伸小多邊形，直到出現乙個新的公共點。
沿紅線切開，兩個多邊形的周長被我們分成了更小的部分。
一直這樣做下去，最終得到的要麼是重合的邊，要麼是上圖左邊這樣的三角形（或者多邊形）。
因此，大多邊形的周長大於小多邊形的周長。
2樓：靈劍
在兩個凸區域之間構造乙個凸多邊形，凸多邊形所有定點都在外面的凸形狀上，所有的邊都至多和裡面的凸形有乙個交點（也就是相切），然後根據兩點之間直線段最短證明凸多邊形周長比外面的凸形周長小，再根據積分放縮證明裡面的凸區域邊長比凸多邊形小，從而證明外面的周長大於裡面的周長，這個應該是可行的……
當兩個區域有公共邊界的時候，上面的方法會有一些瑕疵，不過改成公共的邊界保留，在不重疊的邊界上，先在外面凸形的兩頭各保留一小段邊界，然後在中間構造折線，應該證明方法不變。
證明裡面的凸區域邊長比凸多邊形小的時候，把凸多邊形和裡面的凸區域按交點分隔開，應該等價於證明在三角形ABC內部有一條凸曲線從A到B，則凸曲線長度小於AC + BC。
如圖，我們任取一組凸曲線的分割點，然後將分割點連線形成一組折線，並在每個分割點分別做AC、BC的平行線，這些平行線將AC和BC分別分成了相同的份數，注意到每段藍色線都跟一段黃線、一段綠線形成三角形，由於兩點之間線段最短，每段折線的長度都小於相應的黃線和綠線長度之和，從而折線長度小於AC + BC。當分割數量無限增加，相鄰分割點之間距離趨向於0時，這條折線的長度就是相應曲線的長度，根據極限性質，由於折線長度始終小於AC + BC，因此AC+BC是折線長度的上界，因此極限值小於或等於AC+BC，也就是曲線長度不超過AC+BC。
3樓：石逍遙
我來提供乙個思路吧。可不可行不好說。
所謂「周長」，一般定義都是將邊界分割拉直求模長和取上確界（類似於某種極限過程）。首先我們假設兩個凸域的邊界都是可求長的，也就是說這個上確界是存在的。
既然是「凸域」，那麼分割後拉直的線段都是在區域內的。這樣就可以取大區域的某個分割，在它之下的那些拉直的線都在小區域外部，顯然這圍成乙個凸多邊形。它的周長，根據定義是不會大於大區域的周長的。
那麼我們來看看小區域的任意分割。顯然那些拉直的線段都被包在了上述的凸多邊形內部。這些線段也圍成了凸多邊形。這些凸多邊形周長的上確界就是小區域的周長。
如果能夠證明在乙個給定的凸多邊形的內部任意畫乙個凸多邊形，外面的周長不小於裡面的周長，就好了。
好吧接下來我就不太會證了。。。
4樓：
因為兩者是覆蓋關係，所以可以從測度大
的那個區域中扣出乙個和測度小的那個區域相等的區域，得到周長一樣，剩餘的部分仍然有周長
這個邏輯通嗎？
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