1樓：雷死卡卡
homotopy type of connected Lie groups
因此以下只考慮連通緊李群。
我們先看看緊李群的基本群的結構。因為是H-space，緊李群的基本群是有限生成阿貝爾群，會形如 ，torsion部分是有乙個有限群。
對於n，在緊李群上有很多解釋，首先是其一階上同調的rank；然後因為緊李群的一階實係數上同調同構於 , 是該緊李群的李代數，所以n是其中心的維數；還是因為是有限維的H-space，緊李群的有理同倫於一些奇數維球面的乘積，所以當然也是有理同倫型中圓的個數。
商掉這個緊李群的大於零維的中心，基本群就變成有限群，所以關鍵在於求torsion部分。
目前我所知有兩種理解方法。
同前一位答主所言，可以構造fibration來計算基本群。
如果直接知道緊李群的結構定理，即
那從fibration
利用同倫群長正合列就可以求出G的基本群以及事實 ，torsion部分實際上就是 。因此只需對這些單連通單李群有所了解，就能知道所有基本群的形式。
這裡例舉一些經典的fibration。
對於"經典"李群中的無窮列A、B、C、D型矩陣群
以上情形我們可以通過纖維叢: 來構造長正合列計算它們的基本群。
,則 ,則
,則 U(n)的基本群
O(n)的基本群
Sp(n)的基本群
spin群和正交群的基本群也可以互推。
這部分在有介紹李群的書裡基本都可以找到。不過拓撲向量叢理論相關的教材也可以找到，比如以下這本書。之所以跟向量叢有關，是因為比如球面上拓撲主叢的分類涉及這些經典李群的同論群。
第二種方法可以看李群方面的教材比如GTM222，也比如
Representations of Compact Lie Groups | T. Brcker | Springer
有如下乙個定理說緊李群的基本群同構它的基本格點群商調對偶根生成的格點群。
同時章後習題讓你練習用這種方式去計算經典李群的基本群。
舉例SO(2n)（n>3）:
則它的基本格點群由基底 生成，對偶根則仍是
計算行列式，得到兩個格的商是 。
對偶根生成的格點群其實對應於萬有覆疊李群的基本格點群。
第二種方法適用於所有連通緊李群，如果能寫出矩陣形式，則基本都能算。這是通過緊李群根系的資訊得到，用組合的資料去計算其基本群，對於不了解fibration的李群也可以做，雖然這些組合的資訊其實就能讀出很多covering和fibration了。
at.algebraic topology - Homotopy groups of Lie groups - MathOverflow
differential geometry - Proof of Hopf's theorem (the one about cohomology of Lie groups being equal to the cohomology of a product of spheres) - Mathematics Stack Exchange
proof verification - Rational homotopy type of a Lie group - Mathematics Stack Exchange
THE COHOMOLOGY OF LIE GROUPS
Schubert calculus and cohomology of Lie groups
2樓：
緊李群Ｇ的一般通過由纖維叢構造出來的同倫群（之前口胡了，反正是homotopy group，同調是homology）的長正合列計算，這個纖維叢一般以緊李群Ｇ模去小一維的Ｇ得到的齊性空間為基底，例如n維特殊正交群模n-1維的得到n-1維球面，然後將高維的Ｇ的基本群計算歸結到低維的，最後低維的可能需要單獨處理，例如我們知道3維旋轉群同胚於實射影空間，基本群就是 ；而非緊李群一般收縮到緊群，然後進行計算，例如 可以收縮到
具體可以參考GTM222
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