1樓：折翼
當然是著名的懸鏈線。
設想有一段理想的柔軟、非彈性細繩，兩端懸掛於兩個定點 繩受重力作用自然下垂。這稱為懸鏈線。關於它的方程，先說一般性結論：
在繩子所處的豎直平面內建立座標系， 軸為水平方向， 軸為豎直方向。設兩端點的座標為x_1." eeimg="1"/>記
方程 的唯一正根為
則懸鏈線方程為：
現在給出上述方程的推導。只需要用到簡單的受力分析和微分方程知識。
設單位長度的繩子受到的重力為 繩子中的張力為 其水平、豎直方向的分力為 在懸鏈線上取橫座標為 的點 考察弧微元 設其長度為
水平方向受力平衡，得 故 是常數，記為
豎直方向受力平衡，得 除以 再令 得到 由於 代入上式得到 結合點 的座標，可知懸鏈線方程滿足的邊值問題：
其中 是常數。這是可降階的二階自治方程，其通解為 這裡 是任意常數。利用邊值條件，
由雙曲函式的和差化積公式，可以解出
問題看似已經解決，其實不然。因為 依賴於未知的水平張力 下面用幾何的觀點來確定
由曲線弧長公式和懸鏈線滿足的方程，
顯然 \sqrt," eeimg="1"/>又 於是 或者
記 則 k_0," eeimg="1"/>上式成為 顯然滿足它的正數 是唯一的，這就是懸鏈線方程中的引數
2樓：TravorLZH
經過座標變化，可將原問題轉化為懸掛在(-X/2,0)和(X/2,0)處的曲線y=y(x)表示式。對於一小段曲線 ，其勢能為 ，再根據最小勢能原理，可知問題為求解以下泛函極值問題：
同時 且y的弧長為L，即 。通過拉格朗日乘子法，我們得到了最終要優化的泛函S：
由於泛函核F並不顯示含x（ ），我們可以避開二階的E-L方程而去使用貝爾特拉公尺等式（Beltrami's identity）[1]來解：
整理可得 ，再根據分離變數法，方程變成了：
事實上，利用雙曲代換，有
所以方程變為：
為了方便表示，不妨設 ，則表示式簡化成：
代入邊界條件，得：
再代入弧長約束條件，得：
因此這個曲線的方程為：
其中A為非線性方程 的解
3樓：
這種問題當然要交給理論力學啦~
設繩子的曲線為C，則體系的勢能 。
自由下垂要求勢能最低，也就是其變分為零。令 ，則任務變為求解Euler方程
。經過一大堆化簡，這等價於
。接下來是解微分方程，令 ，則 ，代入運算：
，積分得 。之後開方解出 ：
，這足以求出解：
。後面通過已知條件可以解出兩個常數。
4樓：InedibleKonjac
啊這。這樣好像還稍微麻煩點。。剛才想了一下好像用 和 關係直接上更好做（？
原回答：
從最低點（設橫座標為0）取一小段受力分析
因為自由下垂是平衡的，
令 ，得
然後就很好搞了，積分兩次後可得該繩方程為
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