1樓：
剛考過，梳理下連續版本的。
第一步：如果是u.i.鞅。和是停時且，則和都是，而且。（特別的，由於u.i, 則存在（同時為X的a.s.和極限）
。）第二步：繼續假定是u.i.鞅。由於也是停時且，由第一步則有，技術活就是證明。當然了，。
第三步：回到一般的鞅。對於任何，是u.i.(很明顯)。應用第二步到，對於任何，則。由和任意，可得是鞅。
和可測性均由第一二步保證。
2樓：唐yy
Doob的optional sampling theorem，對於有界停時是對的，當然更廣義的情形，只要是個右閉鞅（exist last elements）也是對的。離散情形的證明有人給出了，連續的證明基於離散的結論，再要利用倒鞅（backward martingale）的收斂性。一般嚴格的教材都會有，比如gtm113。
手機打的有點亂，見笑了。
3樓：親愛的龍哥
滿足一定條件，是
這個定理叫optional sampling theorem， 請移步維基百科，我就不逼逼了
Optional stopping theorem
鬼俠的證明是離散情況下，而且不是一般意義上的stopping time（可連續）。
黑貓舉個例子說那個不是鞅， 原因是這個停時過程沒有下界啊。。。。一直向下啪啪啪，向上啪不了，自然不是鞅。
如果將他的例子改成， 財富到達1或者-3時就停止，那麼這個過程就是個鞅了。
4樓：長軀鬼俠
今天期末複習剛推導這個，故來回答一發。是的，將乙個鞅停止於停時即是stopped martingale（又稱stopped process）。設是關於的鞅，T是停時，我們證明是關於的鞅：
欲證明是關於的鞅，即驗證。首先拆項：；其次由停時的定義,關於可測（完全由前n個觀測量決定），故可以從條件期望中提出：
左式=；最後用鞅的定義，左式==右式。
補充一發。我證明的結論是：是鞅，則是鞅。這個結論不依賴於停時定理，只要T是停時即可，對連續時間鞅也成立類似的結論。
看了其他幾位朋友的回答，發覺題主描述的「將鞅停止於停時」，或許和我理解的不同。事實上，從停時定理能推出另外一種結論：是鞅，是一串遞增的停時，且滿足某種有界性條件，則是鞅。
這裡的有界性條件在技術上保證了期望和無窮求和的可交換性，從強到弱有很多版本：簡單粗暴的版本是；稍弱的版本有，這個條件源自控制收斂定理（dominated convergence theorem) ，可用在賭徒輸光問題等；最弱的版本是 n\}}) = 0" eeimg="1"/>，這個條件源自一致可積性（uniform integrability)，一致可積性是期望（積分）和極限可交換的乙個充要條件。
請問讀乙個很長的英語句子應該怎麼樣合理停頓？謝謝 ？
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