1樓：斯文的企鵝
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這裡其實應該有三個概念，correlation coefficient，cross-correlation coefficient 和coherence
correlation coefficient是概率論裡面的概念，用來描述兩個隨機變數的線性關係：
取值在-1到1之間。
cross-correlation 和coherence 都是時間序列分析裡的概念，用來表述兩個時間序列X(t) 和 Y(t)之間的關係。寒江雪同志的回答裡說「往往二者計算出的結果非常近似」我想應該指的是這兩個概念。總的來說，cross-correlation 和coherence的本質都是某兩個隨機變數的correlation coefficient，只是cross-correlation 的輸入是時域（time domain）變數；coherence的輸入是頻域（frequency domain）變數，準確的說coherence是頻域變數correlation coefficient的平方。
所以兩者描述的是兩個時間序列不同維度的相關關係，結果也經常會很不一樣。
Cross correlation coefficient 表述兩個時間序列時域的相似性。Cross correlation coefficient的定義：
在ARMA模型裡經常出現的auto correlation其實就是時間序列對自身的cross correlation。
Coherence主要是表述兩個時間序列頻域的相似性。Coherence的定義有點曲折：
其中 是X(t) 和 Y(t)的Cross-spectral density。這個形式只是看上去和correlation有點像，當我們應用stochastic integral之後，可以得到完全類似於correlation的形式：
不同的是這裡的隨機變數是複數，Y*是Y的共軛。coherence的取值在0到1之間。在訊號處理中常用來描述input和output的線形因果關係，即output的多少比例可以用input來解釋，有點像回歸分析裡R square。
就數值而言，兩者可能會完全不同。舉例來說， 和 在沒有白噪的時候，這兩個時間序列的coherence是1，因為頻域裡只看power spectral的時候，兩者是一樣的。這兩個時間序列的Cross correlation是-1，X(t)達到最大值1的時候Y(t)取最小值-1。
最後附帶個有白噪的例子，Coherence 基本不變的時候，Cross correlation 可以取到各種取值
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