1樓：矽基生物
寫出我的理解，如果錯了請專業人士指出。
本人將動量-位置的對易式作為量子力學基本假設（這個基本建設與波函式基本假設等價）之一，由於在任意參考係下，動量和位置的對易為非零整數，所以任意參考係下角動量不為零，當測量該值的時候，得到的結果也是非零整數。
S-G實驗施加磁場並放置螢幕，本身構成了乙個對角動量的測量。測得的結果是非零整數。
2樓：張智浩
補充一下原回答。
也許乙個問題是：「為什麼是 ？」，畢竟原回答是直接從天上掉下來這麼個群，似乎沒有什麼道理。
與其說「自旋」，倒不如說「角動量」。自然地，角動量是旋轉對稱性——即 -對稱性，在三維的時候——對應的守恆量（或者說，荷？），因此自然地會考慮具有 -對稱性的量子力學系統。
通常來說，會考慮直接在這個希爾伯特空間 上的酉表示，這是乙個自然的想法。但是事情並沒有這麼簡單，因為「對稱性」可以僅僅要求我的變換保持內積（概率振幅？），並且實際上我的量子態不是 中的（單位）向量，而應該是一維子空間，所以
並不一定是酉表示，也可以是 anti-unitary 的（反酉表示？），這是 Wigner 定理所保證的。不過通常也只在時間反演對稱性的時候關心 anti-unitary，我沒有在別的地方見過，所以通常我也只考慮酉的。
並不一定是個線性表示，完全可以是投影表示，畢竟真正的態空間是希爾伯特空間的射影化 ——雖然只有這個處理起來不大方便。也可以參見上一條的鏈結。
所以會希望考慮 的投影酉表示。然而這樣的表示其實都來自於 的線性酉表示，比如可以看維基百科和相關的鏈結。當然了，線性的最方便，所以就一直考慮 了。
原回答：
首先乙個問題是「自旋是什麼」。大概每個人看到「自旋」心裡面想的東西是不一樣的，通常我會把它理解為「的不可約表示」，至少在大部分量子力學問題裡面這樣看似乎沒什麼問題。
關於 的表示，大概需要了解：
Theorem.對任意正整數 ，存在乙個 的 維不可約（復）表示，並且它的所有不可約表示都長成這樣。
比如一維的時候就是平凡表示，二維的時候就是 作為矩陣群在 上的表示，三維的時候就是先投射 再在 上的表示。也可以用二元的齊次多項式來統一描述這些表示。
但按照通常的慣例，我們用整數或半整數 來標記它們，這樣的表示就可以叫做「自旋-的表示」。這樣做的乙個好處是，當且僅當 為整數的時候，這個表示其實是乙個 的表示（就像上面的例子一樣）。當 時半整數的時候，這個表示只是 的乙個投影表示，所以也可以說此時帶有分數自旋（分數荷）。
所以說自旋-的表示是兩維的，至少這麼理解也沒什麼問題。
所以觀點 1) 看起來沒什麼問題，兩個分量，至少通常大家都是這麼看的。
觀點 2) 看起來就很迷了，跟你最上面列出的 1) 和 2) 有關係嗎（看起來似乎有）。如果認為是「波函式取乙個值所以自旋可以由乙個值來表示」，那就是毫無道理了。首先正確的想法應該是「所有波函式的希爾伯特空間」，其次不管維數是多少的希爾伯特空間你都可以看成是某種函式空間，最後考慮波函式的取值根本是沒有意義的，因為它只代表某種概率分布，換言之只有它的積分才是有意義的，乙個點（乙個零測集）上的取值根本沒有影響。
最簡單明瞭的看法就是這樣：自旋 的粒子它的希爾伯特空間就是 維的。不過當你考慮電子波函式的時候，它裡面不僅有自旋的部分，這是要分開的。
另，有其它答案提到了有無質量和自旋的問題，在我看來這是兩個沒什麼關係的問題。
這主要是相對論量子場論的問題，我們考慮粒子，其實就是在考慮考慮龐加萊群（或者更準確地說是它的二重複疊群）的不可約表示。這個時候就有一套 Mackey Machine 來處理這種問題。首先要考慮洛倫茲群（準確地說是它的二重複疊群）在動量空間上的作用，去考察不同的軌道，這個時候就會出現第乙個不變數即質量，因為在同乙個軌道上 是不變的。
其次要考慮每乙個軌道（上某一點）的穩定子群，或者通常稱為「小群」（little group），對於不同的質量這個群是不同的：正質量下它恰好就是 ，於是我有需要去看它的不可約表示——前面已經說過了，這是由乙個數 就能表示的，這就產生了正質量粒子的第二個不變數即自旋；零質量的情況下不是這樣的，也沒法談論自旋了，只能說「螺度」（helicity），通常會說這個是「自旋在動量方向的投影」（？？？），這部分我其實並不怎麼清楚，沒有去仔細考慮過。
這部分內容知乎上也已經有過好多文章和回答了，有興趣可以去找找。
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