1樓：mixian11
補充乙個北大高代上的證明。這裡 分別為線性變換的特徵多項式，線性變換本身，整個線性空間。我將其寫得很長，有什麼疑問裡面應該都解釋了。
首先，i=1,2,...,s，將每個 視作乙個新的線性變換（線性變換的多項式仍是線性變換），再令 ， 即為 值域，再令 。由Hamilton-Caylay定理， 為零變換，故，即有 。
然後分三步走
第一步證明 中每個向量都可分解為 中（各乙個）向量的和。
第二步證明這種分解法是唯一的。則由這兩步可以證明.
第三步證明與 是等價的。
(1) 由於 ,則存在 使 則對線性變換A，有： 即為單位變換。將 中任一向量進行這樣的變換就得到分解式。這是由於 ，故左邊第i項在 的值域 內。
(2) 要證明任意向量分解式唯一，即證明零向量分解式唯一且全為零向量，這樣兩組「差為零」。
令 （注意，這裡還不能說是要找的分解式）
由 故必有 時：。故將 代入分解式兩邊，即有 ，即 這就說明了是要找的分解式。 【事實上，要是直接設 ，由 可立刻得到 ，但是這樣不利於第三步的證明。
】【這部分證明主要是要得到 且 】
而 ,故存在 使
將 代入兩邊，由 得 此階段完畢。
(3)對任意 有 ，故可以唯一分解為
將 移到左邊，由於兩者都在 內()，故 。故由（2），左邊每一項都為零向量，即 ,由任意性得 。故 。證畢。
我自己看著都覺得長，( ╯□╰ )
2樓：
首先說明和的核的交為（考慮A關於x的極小多項式），即然後注意到,
這說明以及
從而最後考慮維數：根據和, ,
於是,所以.
其實上面基本上把根子空間分解的證明寫完了：從開始，說明,注意到和
都是上的線性變換，重複上面的做法可以得分解,接著不斷重複這一做法就得.
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