1樓：Ming
回答的會不會有點晚了？
這個對偶問題需要有三個假設：
1）區域性不飽和
2）嚴格擬凹效用（保證解的唯一性）
3）連續u(x)（確保有解）
首先，indirect utility是這樣寫的：
expenditure function 是這樣寫的：
那麼：首先如果x是乙個解的話，通過假設1）我們可以排除下面這種情況
那麼：對於expenditure minimisation來說，如果h是乙個解的話，那麼：
我們可以直接看出x(p, e(p,U))是其中乙個解，因為根據indirect utility：
以上等號一定成立，不可能大於或者小於U，如果大於U，h(p,U)將不是e(p,U)的解，如果小於U，x(p, e(p, U))將不是V(p, e(p, U))的解。
根據假設2），我們就知道，x和h都是indirect utility和expenditure function的解。並且因為解是唯一的，那麼：
如果沒有唯一解，那麼上述等號不一定成立，比如效用函式是線性的（完美替代商品），那麼即使x和h都是兩個問題的解，因為有很多個解，所以不一定相等。
不過我們可以說，兩個解的空間的集完全相等的。因為根據假設1），如果x是indirect utility的解，那麼其一定是expenditure function的解，如果h是expenditure function的解，那麼h一定也是indirect utility的解。
2樓：無宇
按我自己的理解，包絡定理實質上在說外生引數變化，不改變函式極值的對應關係，只是讓原函式和極值點位置發生改變。
對函式 ， 是自變數， 是外生引數，那麼可以定義乙個函式 ，即 是 取極值條件得到的乙個函式。那麼由 可以得到 。
那麼在 時，達成極值條件，所以有 。
所以 ，注意到當時，有 ，所以得到包絡定理 。
這樣當引數 變化時，函式 位置發生變化，極值與極值自變數仍一一對應；極值點位置變化勾勒出了函式 的上包線，這個上包線就是 。同理對 ， 就是下包線。
包絡定理在微觀經濟學裡的應用，例如證明羅爾恒等式，即如果效用函式 在定義域上連續且嚴格遞增，那麼對間接效用函式 ，有 ，這裡需要保證可導且分母不為零。
這是因為由拉式函式 和包絡定理，有 和
所以 。
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