1樓：鍵山怜奈
如果二維封閉曲線全體的勢大於連續統，那麼就不可能存在這種東西；反之如果二維封閉曲線全體的勢是連續統，那麼至少存在乙個函式，它將實數全體與二維封閉曲線全體畫等號。
因為封閉曲線全體的勢是連續統，所以是後者，也就是說至少存在乙個黑箱子一樣的函式f，你給它乙個引數，它還給你乙個二維封閉曲線，並且當你將引數在[0,1]上滑動時，任何乙個二維封閉曲線都會在某乙個瞬間出現。
不過關鍵在於證明f的存在是否用到了選擇公理，如果沒有用到選擇公理，那麼就意味著我們可以確切地構造出乙個這樣的函式，否則這樣的函式f有可能是未知的。
答案是否，沒有用到選擇公理。二維封閉曲線一定可以表示為 的連續函式，並且對於函式 ，考慮集合 ，那麼這是乙個單射，因為兩個連續函式如果在 上一致，那麼它們就是同乙個函式。
因此，首先我們可以由 出發，構造乙個表達了所有封閉曲線的「引數方程」：令 是 的有界閉子集，則閉曲線（有可能不是閉曲線）滿足方程：
換個看起來不這麼邏輯的寫法也就是
這兩個寫法當然不是等價的，只不過下面這個寫法足夠表達所有二維封閉曲線
接下來，只需要構造乙個 的滿射即可，由於 是可數的，所以有乙個平凡的滿射：令 是滿射，則 是 的滿射。至於上式中的 ，在此不妨也將其明確一下。
首先用 表示 ，之後，定義：
那麼這是 的滿射。
將以上這一大堆東西整合一下，就得到了用單一引數表示任意二維封閉曲線的方程，唯一美中不足是引數如果選取的不好有可能導致結果不是封閉曲線。不過既然等勢是可以證明的，只要稍加努力就可以構造乙個完美的雙射
但是題主還可以問出第三個問題（第乙個問題是勢，第二個問題是可構造性），那就是可否構造出乙個連續的對映。這取決於如何定義曲線之間的距離，而且我一時沒想出來怎麼定義。
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