1樓：電渺陶琅
可以。設S(x)=∑f(i)，其中求和指標為i，從1取到x。再考慮級數P(x)=∑(f(k)-f(k+x))，其中求和指標為k，從1取到正無窮。那麼顯然當P(x)收斂時必收斂到S(x)，這樣便能將x從求和符號上移下來。
不會打公式，請見諒。
2樓：
利用拓撲學裡面Net (mathematics),可以定義對任意指標集的"求和".
這樣定義出來的"求和"和常見的無窮級數定義有如下的關係:
參考資料: A Course in Functional Analysis, Section 1.4 - John B. Conway
3樓：
一般的，設Sn是某數列的前n項和，可以把它視作關於n的函式，那麼Sb-Sa即是題主感興趣的求和。也就是說問題在於怎麼定義連續情形的Sn。但問題在於，這種延拓一般情況並不唯一，是有無窮多種方法的。
那麼這個問題就必須附加一些定解條件。
但你這麼做又有啥意義呢？還不如直接考慮定積分得了。我覺得這才算是求和號最好推廣。
4樓：來自虛空的Xetta
能不能將調和級數像階乘一樣拓展到實數域或者複數域？
要想把調和級數延拓到實數乃至複數域就要用到階乘函式的延拓γ函式的性質了，這是屬於特殊函式的內容了。順便糾正一下，需要延拓的物件是求和的函式而不是求和的符號，因為求和符號沒有定義對操作物件函式的泛函形式，即一般延拓方法，那麼是否存在對在求和符號作用下得出的函式的一般（或成套）延拓方法呢？本人水平有限，可能有某個大神能回答我提出的這個問題。
在這裡召喚一下原作者看看吧 @醬紫君
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@王希@rainbow zyop
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