1樓：真空的球形王宇航
通俗一點來講就是微分方程變複雜了，不能再使用簡諧運動的近似在小幅擺動的情況下，週期與擺動幅度無關；隨著擺動幅度越來越大，「等時性」的特徵也就失去了
我還記得小學科學課本上講了乙個小故事，說的是伽利略在教堂做禮拜的時候觀察吊燈的擺動從而發現了單擺的週期與擺動幅度無關。且不論這個故事的真實性，單擺具有固定的週期在計時方面是具有非常重大的科學意義的，這些也直接導致了伽利略可以對運動有更深入的研究。
我想，伽利略時代的人不會意識不到單擺擺動幅度很大時週期不再恆定，但過大幅度的擺動在當時的條件下對科學研究沒什麼意義。得等到幾百年後人們對橢圓積分的研究成果出來後人們才真正能求解一般性的擺動
2樓：
大擺角時週期T和擺角有關，以擺長1公尺，重力加速度9.8為例：
擺角小於10度的時候，用高中課本上小擺角近似處理，偏差不超過0.2%，乙個週期最多差幾個毫秒，測一百個週期也差不到一秒。基本相當於高中實驗手動按秒錶、用公尺尺量擺長等實驗器材產生的誤差範圍。
不過這個精度如果用於計時，這誤差就不小了。擺角從10度到5度，每秒誤差1.4毫秒，一天下來差兩分多鐘，這已經很影響計時精度了。所以精度較高的擺鐘擺角控制在2-4度（維基資料）。
3樓：zdr0
前兩天剛看完橢圓積分就刷到了這個問題，正好可以回答一波～首先，無論單擺的擺動的角度 為何值，都有以下運動學方程：
其中 是繩長， 是重力加速度的模。這是乙個二階齊次常係數線性常微分方程，當擺動角 很小時有週期：
而對於準確的運動週期，並不能用初等函式解出，只能用橢圓積分表示。首先，考察以下微分方程：
則週期為：
上式可以寫為 第一類完全橢圓積分的形式：
其中，第一類橢圓積分為：
也就是一般情況下單擺的週期沒有初等解析解，只能用以下級數進行表示：
可見當 時有
zdr0：橢圓沒有周長？！
4樓：
因為題主說如果擺角略大，會怎樣。所以這裡只考慮擺角略大於10度的情況。其他情況不予考慮。
先提出幾個假設:
假設繩子是理想模型，沒有伸長，沒有形變，忽略繩子自重。只能承受軸向拉應力。
假設擺球是質點，只有重量，沒有體積。
假設在擺動過程中，不考慮空氣阻力，不考慮其他的機械損耗。
對擺球做受力分析：
（請不要在意我的渣繪畫）
這裡拉力T與豎直方向夾角為，此時合力(1)。
由牛頓第二定律可以得到(2)。
又因為加速度是距離的二階導數，所以有(3)。這裡s是弧長。
將(3)式代入(2)式中，得到
上式左右同時除以，得到(4)。
(4)式是乙個非線性微分方程，這個方程的解就是單擺擺球的運動方程。
解這個非線性微分方程較為複雜，說實話我也不會解，不過好在有人給解出來了，就直接給出結果吧。
最後解出來單擺的週期T為
大擺角單擺運動週期的三個公式--《廣西物理》2023年03期
由這個結果可以看到，在大擺角的情況下，單擺運動就不能認為是乙個簡諧運動。也就是高中書上的公式就不適用了。
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