1樓：羅大可
這個問題著實簡單，但是卻也迷惑了我長達兩年的時間。不知道該怪自己太笨還是怪這些數學書太乏味。
言歸正傳，請參考《線性代數》居餘馬第2版第299頁的人口模型問題。
解答是這樣的：
注意看紅色標記部分，沒錯，就是計算方陣的冪。方陣的冪怎麼計算
我相信這就是相似矩陣最簡單最容易理解的應用了。
講真，有幾位答主的答案真的容易讓人把人繞暈。我這裡提供乙個簡單的版本。
還是看這個等式：
眾所周知，矩陣就是對映。所以我們把這個等式稍微變形一下。
看著這個等式，有沒有一點思路。
左邊是乙個向量 通過乙個線性變換 直接變成 。這個 變換可能包含了伸縮，位移，旋轉，總之你根本看不懂。
右邊是這個向量 先通過乙個變換 到了乙個擁有神奇的基的空間， 中所有的變換資訊在這裡都可以簡單通過伸縮變換 來表示，這個對角矩陣 你可熟悉了，就是把幾個基拉扯一下，拉扯完了我又通過 變換回原來的空間，和A是乙個效果。但是這一次就清晰多了。
相似矩陣也不僅用在相似對角化上面，性質沒有那麼好的矩陣就會相似到Jordan標準型上。
Jordan標準型怎麼處理前人早就總結好了。
這應該就是相似矩陣的意義吧。
（為什麼Jordan標準型不翻譯成喬丹標準型？）
2樓：ERYUESANHI
相似矩陣是指在某一組基下表示方式相同的矩陣。
如果向量在某個基下表示比較複雜，可以找它在某個基下表示簡單的去做計算，算完後再使用原來的基去表示
3樓：我可能是八雲紫
兩個相似矩陣代表不同基下的同乙個線性變換
當基是eigenbasis時，線性變換就是eigenvector的伸縮，在矩陣形式中就是除了對角線上其他都是0。這就是對角化。
假設標準基下乙個線性變換的矩陣為A，該矩陣eigenvector組成的矩陣為P，則P代表該變換的eigenbasis。
Ax代表將向量x直接在標準基下變換
P B P-1 x 代表將向量先轉到eigenbasis上，再進行變換，再將變換好的向量轉回標準基。
為了保證這兩條路做的是同一件事情，所以B代表的一定是A這個變換在eigen基下的樣子，which is eigenvector的伸縮，所以B是對角的。
4樓：sunmerrain
相似矩陣就是在不同基下的相同矩陣。
把乙個矩陣轉化為與它相似的另乙個矩陣的過程其實就是基變換的過程。
對角化其實就是把基換成特徵向量方向的基，本質是乙個解耦合的過程，原來的基把不同方向的變換摻合到一起去了，對角化把他解開，從而在計算和分析上有更大的優勢。
5樓：
用一句話來說就是線性變換A在不同基下的矩陣表示是相似的
直觀上我考慮用兩個角度去解釋這個問題:
已知 的情況下
我們假定P是兩組基的過渡矩陣：
考慮基1,基2
以及他們的過渡矩陣滿足
第乙個角度：綜合考慮座標變動和線性變換
考慮基1下的向量在空間中完整表達為 u=(x1,x2,x3...)',座標為x = (x1,x2,x3)'
第一步：因基1可用基2完全錶出則這個向量在基2下的表示為
u= (x1,x2,x3...)'
此時我們看出 P(x1,x2,x3...)'可以看做新基2下的新座標y，記住雖然此時座標不同，但是
本質上是同乙個向量u
有則有新向量 v =
此時，相當於我們通過線性變換將u通過L變成了新向量v,且此時用基2來表示，實際是座標y下的變換
第三步:最後我們通過基1與基2的反向關係
把基2用基1表示出來，回到基1的表示中
v =因,與初始u相比
u =相當於針對基1做了個矩陣為 的將u變為v線性變換L
而在基2中，拋開變來變去的基，我們實質做的也是將u用線性變換 L變為v，因我提到過了第一步和第三步都不涉及具體點的變動，僅僅是基的重新表示，但是他那裡的矩陣我們定義為B, 同樣的線性變換在基1下卻為
第二個角度：僅考慮線性變換
第一步：
事實上是把我們空間中的基1線性變換到基2，可以想象為各個與基1重合的向量都移動到與基2重合的位置，原來在基1中為(1,2,3)座標的向量變成在基2中(1,2,3)的向量，不過此時向量與基的相對位置沒有變動
第二步因B已經規定為在基2下的線性變換的實際表示矩陣，而根據線性代數基本知識我們知道乘以乙個矩陣和做線性變換是一樣的，所以此時與基2重合的向量將移動到B所規定的位置(旋轉,放縮,反射都有可能)，而以基2作為基準的向量(1,2,3)也是與基俱進.基2在這個變換下轉了60度他也轉60度；與所在基的相對位置發生變動，不過，不管你怎麼變，我們總能將變化後的向量表示為基2下的向量,我們設這個線性變換將基2下的變數(1,2,3)變為基2下的(4,5,6)
第三步最後這部是把向量對映回去，因對基的對映規則已經確定了線性對映的一切，而P是將基2逐一對映回基1的對映，基2下的變數(4,5,6)就變為基1下的變數(4,5,6)了，所以從頭開始看上面這個對映就是在基1中將(1,2,3)為座標的向量對映到(4,5,6)為座標的向量；而B呢？就是在基2中將座標為(1,2,3)為座標的向量對映到座標為(4,5,6)的向量上所以 在基1中做的事和B在基2中做的事情相同
6樓：中華田園貓
確實，矩陣的相似變換在矩陣計算的化簡中起到了舉足輕重的作用，但是，簡化計算，只是矩陣相似理論的乙個應用。
矩陣相似和相似標準型的真正意義，在於揭露了矩陣所對應線性變換的型別和特點。
以下分析僅限於最基本的線性代數理論。
我們不妨先拿實對稱矩陣開刀。定義乙個歐式空間，我們知道，實對稱矩陣有這樣的標準型：
實對稱矩陣的正交相似
其中，每個λ都是A的特徵值。這個對角矩陣，可以看成實對稱矩陣的乙個相似標準型。顯然它可以使計算變得更加簡單。
然而不知道你有沒有想過，這個標準型到底有什麼含義？到底揭露了什麼本質的問題？
我們知道，實對稱矩陣能相似變換成這種標準型，原因是你找到了n個線性無關的特徵向量，來當做這個空間的基，因此這個線性變換在這組基下的矩陣是乙個對角形。自然，這些特徵向量是線性無關的，然而在歐式空間中，我們有這樣更深刻的結論：不同特徵子空間中的特徵向量彼此正交。
也就是說，我們取了一組特殊的基之後，結合特徵值的概念，我們就發現了，實對稱變換，它的作用效果是在正交方向上的伸縮！
拿三維空間解析幾何舉個例子，正交方向可以模擬成三根座標軸x,y,z，也就是把乙個實對稱變換放到三維空間裡，恰當選取座標軸之後，它就代表乙個伸縮變換！
實對稱變換的作用效果居然可以看成是伸縮，是不是有些出乎你的意料？這便是矩陣相似標準型的威力，一下子就把實對稱變換的本質揭示清楚了。在這之前，你會不會天真的以為，實對稱變換在空間裡的作用效果真的是（沿著某個座標軸）對稱呢？
那麼你可能還會問，乙個空間裡，沿某個座標軸對稱的「活」到底被誰搶走了？答案就在接下來要介紹的變換——正交變換裡面。通過對正交變換所對應正交矩陣標準型的描述，我們可以再一次看清相似標準型的威力。
等等，正交矩陣也有相似標準型？當然有，課本上不介紹，並不代表正交矩陣沒有相似標準型，正交矩陣的相似標準型是的的確確存在的：
正交矩陣的一種相似標準型
怎麼樣？看到矩陣B裡面那帶著θ的熟悉的2*2方塊，是不是想起了旋轉變換的座標表達？回想一下解析幾何理論學過的正交變換，包括平移、反射和旋轉三種（三者都保持距離），我們不妨這樣去聯想，最右下角的B代表著旋轉的部分，那麼最上面只含的1塊是不是代表平移，-1的塊是不是代表反射呢？
事實的確是這樣的。把正交變換的矩陣化成相似標準型之後，我們便清晰地看出這龐大的矩陣內部的「功能分塊」——有的負責平移，有的負責反射，還有的負責旋轉。不同的正交變換，體現在1、-1和θ部分的塊的大小，因為有的正交變換旋轉的成分可能比較多，有的正交變換可能只專注於反射。
如果把向量看成原材料，線性變換看成一台機器，我們把線性變換的矩陣化成標準型，就可以可以理解成把這台機器拆開，裡面的每個零件是幹什麼的，都一覽無餘了。
由此可見，某種特定的線性變換，它的相似標準型必然有某種獨一無二的特點。線性變換對應矩陣的某些相似標準型揭露了線性變換的核心特點。這就給了我們乙個啟示，線性變換的矩陣，一眼望上去全是數字，乍一看沒有什麼規律，但假如把它經過一系列相似變換化成標準型（如果可行的話），至少我們對這個變換的本質就明白了。
更進一步講，這些不同標準型把線性變換分成了很多「類」，這就延伸到對線性變換所組成的集合的代數性質的研究了，在此略過，希望有更高水平的答主可以從更高角度回答相似的本質。
7樓：憧憬少
樓上已經有答主提到了(不過他的贊並不多)：相似矩陣是不同基下的相同變換。
也就是下圖這樣：
如有不對還請各位指正。
至於用途，就是可以轉換座標系後，想使用原本座標系的變換的時候可以方便地轉換吧。
8樓：天才李健
感覺樓主真正想問的是矩陣到底有有什麼作用。。。。。
我的看法是。乙個矩陣，就完整表示了乙個世界。以前我都是直覺的認為 代表了乙個世界，其實這是不對的。真的代表世界的是
9樓：何大壯
好的解釋，是幾乎能讓乙個九歲的孩子都明白的解釋。
恕我直言，關於這個問題，相似矩陣---這樣的解釋我還沒見到過。
我也不知道怎麼解釋這個問題，正在思考。
10樓：李中華
我的理解這只是個過程變換，通過兩次座標的變化，對比兩個座標系下的同一矩陣。舉例子：A座標係，B座標係，空間點M。核心是A、B座標係下M點的座標Ma、Mb是相似的。
那麼相似矩陣的定義是咋來的呢？A座標係轉換成B座標係通過矩陣P，相反B座標係轉換成A座標係就是p-1。
所以：（個人理解不是很嚴密，只能是感覺上的理解，對於這個回答有乙個瑕疵就是在三維座標系下，只需要轉化一次座標系就夠了，而這裡來回了兩次。）
11樓：
考研做的筆記。簡單來說就是，n維向量空間有一組基P（不一定是正交的）某在絕對座標系下表示的向量Y在P下的座標是X，則Y經過某線性變換A變換後的新向量AY在P下的新座標X＝BX，其中B是A的相似矩陣，B＝P-1AP。（慢慢地我已經把線性變換的概念融入到線性代數的理解中了如果有人看不懂也沒關係我是自娛自樂）
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