1樓：黃迪
睡前解個偶數情形，用頂點做單射即可。
標註n*n方格中第2 4 6… n行的頂點，每行有n+1個頂點。
注意到：【每條方格對角線必占用其中乙個頂點】，即對角線條數不超過標註的頂點數：n(n+1)/2。
構造：用間隔的L形覆蓋全圖即可。（思路是用若干同向斜帶子鋪滿矩陣，間隔取段）
2樓：
引理：對n∈N*，2*n的長方形中至多n+1條對角線。
引理證明：歸納證明對n∈N*，2*n的長方形中至多n+1條對角線，並且取最大值時兩條長為2的邊的中點都是對角線的端點。n=1時，易證結論成立。
下設n≥1，並且結論對不超過n的正整數成立，那麼把2*(n+1)分為左側的2*n和右側的2*1。
如果左側的2*n恰有n+1條對角線，由歸納假設，其右側的中點為對角線的右端點，故右側的2*1不會佔據這個點，因此其中至多一條對角線，並且如果有一條對角線，右側中點必然是對角線的右端點。故對角線條數≤n+2，取等時左右兩側的中點都是對角線的端點。
如果左側的2*n中至多n條對角線，由於右側的2*1中至多2條對角線，故對角線條數≤n+2，取等時左側的2*n恰有n條對角線，並且右側的2*1恰有2條對角線。於是2*n最右側的2*1內至多1條對角線。如果其中沒有對角線，則對左側的2*(n-1)應用歸納假設即得結論成立。
如果其中有對角線，則左側的中點必定是對角線的端點，並且其左側的2*1至多有一條對角線。取從右往左第乙個沒有對角線的2*1，如果不存在這樣的2*1，則左側中點是對角線的端點，結論成立。否則，設這個2*1左側為2*k，則這個2*k裡有n-(n-k-1)=k+1條對角線，由歸納假設結論成立。
於是引理成立。
由引理可把n*n分為[n/2]個2*n和0或1個1*n，每個2*n中至多n+1個，於是n為偶數時，至多n(n+1)/2條對角線。構造為n/2個沒有公共邊的L形，其中每個單元格內對角線方向均為↗。n為奇數時（待續）
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