尤拉角的旋轉順序能改變嗎？

1樓：

回答第二個問題：已知AB兩點，求A到B的尤拉變換。

首先這個描述不太合理，應該是a,b兩向量，描述了兩個朝向。然後假設是在右手座標系，方便描述。

先求aXb，即同時垂直於a和b的向量，顯然它就是旋轉軸。然後求ab=cos θ，顯然它描述了旋轉角。這樣就把問題轉換成了「繞任意軸旋轉乙個角度」。

這一問題的常見解法是先變換到以旋轉軸為一根座標軸的某個座標系內，然後進行繞旋轉軸的旋轉，最後再變換回原來的座標系內。

這裡涉及到三個問題：一是怎麼求得乙個以旋轉軸為一根座標軸的座標系，二是怎麼變換到這個座標系又怎麼變換回來，三是怎麼進行繞座標軸的旋轉。問題三這裡不做展開，因為知道尤拉角是啥的話肯定知道怎麼進行繞座標軸的旋轉。

常說的座標軸的本質就是一組正交基，也就是說只要三個向量互相正交（垂直），那麼這三個向量就構成一組座標軸（注：其實不是正交基也能構成座標軸，不過那種情況下就不太方便輕鬆進行繞座標軸的旋轉了）。所以問題就變成了「怎麼再找到兩個向量，它們互相之間垂直，且都和旋轉軸垂直」。

而注意到如果已經有兩個向量的話，那麼可以直接叉乘得到第三個向量。所以問題更進一步簡化，變成「怎麼方便快速地找到乙個垂直於當前向量的向量」，這一問題有蠻多研究的，這裡提個簡單的方法。

設旋轉軸為，設目標向量，因為u, v相互垂直，所以。注意到x,y,z都是已知量，所以這是個有三個未知數的方程，它當然沒有唯一解，不過這沒關係，我們的目標僅僅只是找到其中乙個可行解即可。

xyz只有乙個非零的情況：若，那上式就變成，顯然要讓它成立的話必須要，而y'和z'則可以取任何值，簡單地設其為1，得到。y和z為唯一的非零量的時候也是同理。

xyz中有兩個非零的情況：若，則上式變成 x'=\frac" eeimg="1"/>，簡單代入y'=x，得到x'=y。而z'因為可以取任何值，我們簡單地取個0（上一情況不取0是因為要是取0了的話，那就是零向量了），得到。

其他情況也是同理。

xyz中全都非零的情況：設，得到 z'=-\frac" eeimg="1"/>，得到。

綜上，對於任何u我們都能找到乙個垂直於它的v。然後再求一下它倆的叉積就得到了乙個正交基，接下來我們得想辦法變換到這個正交基下。

先有個認識，我們平時描述向量的時候，其實也有個正交基在的，例如向量(3,2,1)，它其實是個簡寫，寫開來應該是，其中i,j,k就是我們平時用的正交基，是三個相互正交的向量。而要把(3,2,1)變換到乙個新的正交基u,v,w下的問題其實就是解這個方程。我們把它變成矩陣乘法的形式：

，注意裡面(i,j,k)其實是個3x3的矩陣哦，不是行向量。

因為u,v,w是相互正交的向量，如果我們再多乙個條件，假設u,v,w都是單位向量（這很容易做到，規範化一下即可），則(u,v,w)就是個正交矩陣。正交矩陣的特點就是可逆，且其轉置為其逆。

所以上式可以變換成：，這樣就求得x,y,z了。

我們平時用的i,j,k就是(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，所以上式就是：。

把之前說的要變換的a和b給代換掉(3,2,1)，然後用之前求出來的以旋轉軸為一根座標軸的那組正交基帶進(u,v,w)，求出來的(x,y,z)也就是變換後的座標了。

變換之後再做乙個旋轉，然後再做乙個逆變換（也就是乘上，變換回原來的(i,j,k)的座標系），就得到結果了。如果我們設旋轉前的向量為a，旋轉後的向量為b，座標系變換的矩陣為，旋轉變換的矩陣為R，則有。

最後，關於這個問題，其實用四元數解決起來更方便點，四元數描述旋轉是直接用一根旋轉軸+旋轉角度來描述的，所以自然地更貼合「繞一根軸旋轉一定角度」這個問題。此處就不做展開了。

2樓：

可以但是要明白一點就是，目前的運算規則是建立在右手座標系上的。

雖然左手座標系也能描述世界，但是如果只有你乙個人用的時候，你的感覺就像靠左開車上了高速，媽耶，這個世界太瘋狂了，馬路上的車都在逆行。

3樓：abc

1 轉序能變，但轉序變了後尤拉角的定義方式也相應會變，也就是說一種轉序對應了一種尤拉角的物理含義。

2 光有空間位置無法得出姿態。