1樓：TeamDemonAda
首先，我們需要補充說明一下什麼是"同色三角形"，以及染色的物件又是什麼. 因為染色可以針對邊進行，也可以針對頂點進行.
令圖 為乙個
，其頂點集為
. 現對
的所有邊進行紅藍隨機二染色. 對於任意的
，若 ,
, 的顏色兩兩相同，則稱由
, ,構成的為"同色三角形". 否則，稱由
, ,構成的為"異色三角形".
下面，我們證明中至少存在兩個同色三角形.
證明：顯然， 的子圖中共有 個 ，所以我們只要證明這 個 之中至多有 個異色三角形即可.
任取乙個異色三角形，設它的三個頂點分別為 ,
, ，若 與 的顏色不同，則稱 是"以 為頂點的異色角". 容易驗證，任意乙個異色三角形有且僅有兩個不同的"異色角". 於是，我們考慮 中不同的"異色角"個數的最大值.
對於任意的 ，設有 條紅邊與 關聯，則以 為頂點的異色角有 個. 注意到 ，而 只能取非負整數. 於是，當 或 時， 取到最大值 .
由此可見，分別以 , , … , 為頂點的異色角至多有 個，從而 中異色三角形的個數不超過 個.
再來構造乙個有且僅有兩個同色三角形的例子.
令 , . 對於 的任意一條邊 ，若 或 ，則將 染成紅色. 否則，將 染成藍色.
我們任取 的三個頂點 ,
, ，若 或 ，則 ,
, 構成乙個同色三角形(紅色). 若不然，不妨設 且 ，則 是紅邊， 與 都是藍邊，於是 ,
, 構成乙個異色三角形. 由此可見，此時 中有且僅有兩個同色三角形.
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