1樓：李狗嗨
「寫在最前：文末有MATLAB程式」
像我這種工科學生，在平時學習過程中往往會接觸到振動、電路等方面的問題，而振動、電路系統則是一種典型的二階系統。也就是說，振動或電路系統往往可以用最高端導數為 的二階微分方程來描述。即所謂物理系統的數學模型。
舉乙個最簡單的機械振動的例子：單自由度系統的振動。
粘性阻尼單自由度( SDOF )系統
若該粘性阻尼單自由度( )系統的力平衡方程式表示慣性力、阻尼力、彈性力與外力的平衡，則根據牛頓第二定律有：
其中，：質量; ：阻尼; ：剛度; : 加速度、速度、位移; ：外力; ：時間變數。
這是位移 關於時間 的常係數二階線性微分方程，常係數指的是 、 、 為常數，不隨時間變化；二階指的是最高端導數為二階導數；線性指的是方程中所有函式及其導數的冪次為一次。微分方程的詳細分類請見：微分方程(1)-基本概念及分類
這裡將結構中呈現出來的全部阻尼都近似為比例粘性阻尼。把上面的時間域方程變換到拉氏域（復變數 ），並假定初始位移和初始速度為零，則得到拉氏域（或複數域）方程：
或直接寫為：
其中 代表動剛度。
整理可得傳遞函式(又稱動柔度)的定義： 。
該傳遞函式是乙個復值函式。
上面傳遞函式 右端的分母叫做系統的特徵方程，其根即系統極點，極點計算式為：
根據此式可以得出一些重要概念。如果沒有阻尼（ ），則所論系統為保守系統。由上式，定義該情況下的系統的無阻尼固有頻率為：
臨界阻尼定義為使得極點式中的根式項等於零的阻尼值：
而臨界阻尼分數或阻尼比定義為：
系統按阻尼值的大小可以分為過阻尼系統（ 1" eeimg="1"/>）、臨界阻尼系統（ ）和欠阻尼系統（ ）。過阻尼系統的響應只含有衰減成分，沒有振盪趨勢。欠阻尼系統的響應是一種衰減振盪，而臨界阻尼系統則是過阻尼系統與欠阻尼系統之間的一種分界。
實際機械系統的阻尼比很少有大於10%的情況，除非這些系統含有很強的阻尼機制，因此一般研究欠阻尼情形。在欠阻尼情況下，極點計算式有兩個共軛復根：
其中， 稱為阻尼因子或衰減係數； 是阻尼固有頻率，且有 。
對欠阻尼系統留數形式的傳遞函式進行拉氏反變換，便得到單自由度振動系統自由振動（即不受外力作用下）的時域解：
其實，在自由振動時，原運動方程的右端項為 ：
所以，由高等數學[1]二階齊次線性微分方程解的結構也能得到上述解，即特徵方程有一對共軛復根的情況。
式 中的係數 由初始條件決定，為複數；極點的實部 表示衰減率；虛部 則表示阻尼振動頻率。
如果令 ，則有 .
由初始條件：；
帶入得到：；
所以時域響應可以寫為：
這裡給出乙個計算例項，這裡令； ; ; . [2]
clear
clcclose
allx0
=0.025
;% mv0=
0.000
;% m/st=
linspace(0
,60,1000);m
=1;% kgc=
0.1;
% N*sec/meterk=
2.5;
% N/m
omega_n
=sqrt(k
/m);zeta
=0.5*c
/m/omega_n;x
=exp(-
zeta
*omega_n*t
).*(x0
*cos
(sqrt(1
-zeta^2)*
omega_n*t
)+...(v0+
zeta
*omega_n*x0
)/sqrt(1
-zeta^2)/
omega_n
*...
(sin
(sqrt(1
-zeta^2)*
omega_n*t
)));
figure(1
)plot(t
,x.*1000
,'r-'
,'linewidth'
,1.5
)gridon;
title
('\fontsize\fontnameDamped Response of a Single Degree of Freedom System'
);xlabel
('\fontsize\fontname\it Time \rm / s'
);ylabel
('\fontsize\fontname\it Displacement \rm / mm'
);legend
('Time domain response of SDF system'
)set
(gcf
,'unit'
,'centimeters'
,'position',[0
1013.53
9.03
],'color'
,'white'
);機械の雑筆
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