1樓：
設 均為 階方陣，適合 ，則下述條件等價：;;
.證明：【1.2.】對於冪等矩陣成立 ，所以 。【2.3.】應用初等變換可得 ，必須有 。【3.1.】易見 。
多元統計之Cochran定理
2樓：譞譞
(1)=>(2) 注意到冪等矩陣的秩等於跡，故(2)=>(1) 設 為 維線性空間，則
故 注意到
因此(*)式是直和，即
因此 故
則由(*)是直和知 也是直和，而且 ，因而Q.E.D
反正這題條件太強了，做法應該不唯一，更一般的命題是：若是 維矩陣，則如下兩個命題等價
(1) 冪等，且
(2) 均冪等，且兩兩正交
3樓：ZLXue
引理：若為實對稱矩陣，且 時， 是冪等矩陣與秩（ ）+秩（ ）= 等價。
證明： ，又因為 為實對稱矩陣，所以存在正交矩陣 ，使得 同時為對角陣，不妨記為 。由 ,可以得出 。從而，命題等證。
下證明原命題：
證明：(2)->(1)
當秩( )+秩（ ）+...+秩（ ）= 時，不難得到，
.由引理可知， 為冪等矩陣。故上述命題得證。
(1)->(2)
考慮 和 ，它們都是實對稱矩陣，且 為冪等矩陣，由引理中的方法，容易證得，存在正交矩陣 ，使得 .
不妨令 ,因為 為冪等矩陣，所以 為冪等矩陣。故有
.其中， 。
由 可以得到，
進而可以得到 ， 。以引理為歸納起點，可以歸納出 的秩為 ,從而 ,從而 。原命題得證。
如何證明此題無解？
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