1樓：寬寬
我補個形象化的理解吧。
依測度收斂看的是大局，也就是我不管你們哪個點收斂哪個點不收斂，只要最後不收斂的點總數少到幾乎沒有就行；
幾乎處處收斂不僅看大局，還關注細節，在一開始就要確定乙個「不收斂點名單」，這個名單上的點個數不僅要少到幾乎沒有，而且名單還得是固定的，也就是一開始沒在名單上的點之後也得一直收斂，不能哪天突然又不收斂了。所以說幾乎處處收斂的要求要比依測度收斂高一些。
2樓：孫鵬
xy。前面回答基本上說明白了，我就補充一點。這可能不是必須要知道的事情，但提供了另乙個角度去理解。
幾乎處處收斂也可以通過測度的方式來描述。在測度有限的集合上，等價於對任意的r,s, 存在N使得以下集合的測度小於r:
（該條件不需要測度有限即可推出幾乎處處收斂）這顯然強於依測度收斂的定義（見 @寧非詩 的回答）。而乙個依測度收斂的序列之所以不幾乎處處收斂，可以理解為本質上是因為測度收斂到零的速度不夠快（參見 @Yuhang Liu 回答中的例子）。如果收斂速度足夠快，比如小於乙個收斂正項級數的對應項，那麼就是幾乎處處收斂了。
而這一思想就可以被用來證明依測度收斂的序列必有幾乎處處收斂的子列：跳過中間緩慢收斂的過程。
3樓：
一句話概括，是收斂規模的區別，乙個強乙個弱。
幾乎處處收斂意味著不收斂的點很少很少（少到極限行為下測度為零），依概率收斂意味著不收斂的點可以在極限行為處被控制在很小的範圍內。
需要進一步解釋的話，寶寶再來更～
4樓：
其他答主的回答，對兩者間的關係和區別說的很到位。但這種關係和區別是怎麼來的，卻未細說。
本答案引用嚴加安院士的測度論講義中的內容，依靠幾乎處處收斂的乙個等價定義和依概率收斂的比較，來說明此問題。
首先定義：
等價定義：
定義2.3.1的(3)和定理2.3.4的(1)(2)形式是相同的，方便比較也容易看出區別和聯絡。
兩者借用幾乎一致收斂有以下聯絡：
最後給出 @Yuhang Liu 留下問題的例子：
f_n(x)=x/n ,f_n(x)幾乎處處收斂於f(x)=0.但不依測度收斂。
手機打字，排版問題請見諒。
5樓：Yuhang Liu
先掉個書袋。背誦一下夏道行書上的3個定理。
基本設定：設 是（完備）測度空間， 為一列可測函式。
定理1:如果 ,且 幾乎處處收斂，則 依測度收斂。
定理2:如果 依測度收斂，則 有幾乎處處收斂的子列 。如果我沒記錯的話，這個定理不要求E有有限測度。
定理3:如果 ，則 依測度收斂的充要條件是: 對 的任何子列 ，都存在其二級子列 幾乎處處收斂。
定理3的必要條件部分自然推出定理1；但是夏道行的處理方式，似乎在證明定理3的時候用到了定理1，所以邏輯順序上定理1在定理3之前。
當 的時候，構造依測度收斂但是非幾乎處處收斂的例子還是比較容易的。比如取E=[0,1]，取函式列為區間 的示性函式，其中i跑遍1到n，而n跑遍正整數。那麼這個函式依測度收斂到0，但是無處收斂。
你畫個圖想一下就明白了。每個點對應的函式值列都有無窮多個1，無窮多個0. 這個例子應該在夏道行的書上也有。
基本想法是：在依測度收斂的條件下，每個 離極限函式比較遠的點全體，不妨稱為「壞集合」；壞集合的測度的確是越來越小的，但是你沒辦法控制壞集合的分布，它們依然可以在定義域上漂來漂去，使得你取函式列尾項的壞集合的並，仍然可以是整個定義域。
然後當 的時候，幾乎處處收斂推不出依測度收斂；反例非常簡單，我先讓你自己想想。
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