1樓：
重點是要理解在這個定義裡面，本質上收斂的東西是概率：
A sequence of random variables
converges in probability to a random variable
if, for every
0" eeimg="1"/>,
定義裡面有幾個注意點，我看其他幾個答主沒有說所以我強調一哈：
注意到隨機變數 是sample space到k維歐式空間的對映：對於任何event ，有乙個對應的value（或者叫realization） 。在上面的定義裡，收斂的序列不是 這些隨機的元素，而是 這個非隨機的概率序列，即 .
對於那些收斂的 構成的集合，在上面的定義裡是沒有規定的，就是說集合序列 可以沒有limit。比如在0到1之間隨機取乙個數 ，按照下面的方法定義隨機變數：當n是奇數時，如果 ，那麼 ，否則為 ；當n是偶數時，如果 ，那麼 ，否則為 。
容易驗證 .
Converge in probability是弱於通常定義裡面的收斂的，比如上面的例子裡面，我們有 但是
2樓：慧航
什麼叫做依概率收斂呢？正式的定義是：
比如，如果考慮 ，大概是這樣的：
給定 =2，圖中-2和2以外的區域的面就就是 \epsilon\right)" eeimg="1"/>，依概率收斂意味著隨著 ，外側的面積會收斂到0。
此外，由於 的任意性，它可以任意的小，給定任意小的 ，外側的面積都會收斂到0，從而最終 的分布只能是0這個常數。
那麼，收斂到隨機變數怎麼取了解呢？很簡單，就是 這個隨機變數依概率收斂到0唄~
舉個例子：
根據定義， 是乙個隨機變數，而上面的 也是乙個隨機變數。實際上根據鞅收斂定理，非負的鞅一定是收斂的，且剛剛好收斂到 ，即 從而 （或者取對數扣根據定義證明依概率收斂）。那麼怎麼形象理解呢？
下面的圖是我模擬了很多條 :
可以看到，每條路徑（對應於每乙個樣本空間中的樣本點）都是收斂的，但是收斂的極限是不同的，也就是每條路徑收斂到乙個隨機的極限上。可以想象一下，每條概率最終都收斂到了隨機變數 的乙個實現，不同的路徑的極限放在一起看，就是 的分布。比如在這個例子裡面，實際上 服從對數正態分佈，所以最終每條路徑的極限收斂到 這個隨機變數，其分布就是 的對數正態分佈。
3樓：jwars
在kolmogorov公理化體系下隨機變數是由樣本空間對映到其值域的函式
因此概率論中的收斂其實指的是函式的收斂即一串函式收斂到乙個函式。
這裡所說的收斂有不同的收斂模式
最強的收斂模式是幾乎處處收斂和Lp收斂一般的隨機變數在這兩種模式下都對應著逐點收斂即對於樣本空間的任意一點隨機變數列對映的值（是一列數）按照數列的收斂最終收斂到乙個隨機變數在該樣本點的值
依概率收斂比上述收斂模式要弱一些此時樣本空間內總有一些點是不收斂的但是你取到這一類不收斂點的概率趨於0。依概率收斂本質上是測度論中的依測度收斂。
更弱的是依分布收斂在非實值隨機變數的情況下稱為弱收斂（weak convergence）。它的意思是雖然從每個點看可能並不收斂但是你如果用任乙個關於該隨機變數列的函式對這個分布列做全空間的積分其積分值（乙個數列）收斂於該函式對收斂的隨機變數下的積分。（嚴格意義上這裡要求函式是有界連續的但可以證明放鬆一下限制也無大礙）
最弱的是淡收斂（vague convergence）。這裡隨機變數的分布列已經不是收斂於乙個概率測度了而是發生了質量的耗散。例如隨機變數列Xn = n，此時該隨機變數列的概率逐點收斂到0 因此最終收斂到全零的測度這已經不是概率空間了。
這個模式下的收斂要求很鬆任取一列概率測度你都能找到乙個子列滿足該收斂模式。
4樓：wenpeng
因為定義中的式子是關於隨機變數的函式，既然是隨機變數你就沒法確定它一定是某個值，而衡量隨機變數的特性就可以研究其取值的概率(分布律or分布函式或者概率密度函式)。
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