1樓：
你首先理解複數的概念。然後你發現每個複數乘以i以後，轉動了90度，這不就夠了？
國內的書「輾轉相抄」，很多書上沒有想到虛數冪是怎麼來的。不過也或許有照顧非數學系學生的意思吧，以前看過乙個大佬寫的講義，還挺複雜的。但它其實可以**定義**為 。
2樓：Obsession
如何理解虛數，今天在《深入淺出通訊原理》這本書中找到了答案，所以來分享一下。我們從尤拉公式入手，逐步理解虛數。
著名的尤拉公式：
cosθ+jsinθ是乙個複數，實部為cosθ，虛部為sinθ，在復平面上對應單位圓上的乙個點。由尤拉公式，這個點可以用復指數表示，如圖1：
圖1 尤拉公式的幾何意義
2. 尤拉公式的證明
下面用麥克勞林級數對尤拉公式進行證明：
用jx替換x：
推導過程用到了cosx和xins的麥克勞林展開式，證明完畢。
3. 復數的幾何意義
為了便於理解，通常用復平面上的向量來表示複數。復指數 對應的向量：始端為原點，長度為1，輻角為θ，如圖1。
引入向量之後，複數與復指數 相乘就可以用向量旋轉來理解。
複數：z=r(cos φ+j sin φ)
直接套用尤拉公式，可得： ,複數z與復指數 相乘：
也就是說：
複數與復指數 相乘，相當於複數對應的向量旋轉角度θ；
θ>0，逆時針旋轉
θ<0，順時針旋轉
如圖2。
圖2 複數與復指數相乘的向量表示
4. 如何理解虛數
復指數中引入了虛數j，如何理解虛數j呢？
數學中虛數一般用「i」來表示，物理中用「j」來表示，因為物理中已經用「i」來表示電流了。
關於虛數，如果追溯起來，在高中的時候我們就接觸過了，當時只是給了乙個概念， 。按一般的理解，乙個數和自己相乘，肯定是得到乙個整數，負負得正麼。
虛數剛被提出時，也曾困擾很多數學家，被大家認為是「虛無縹緲的數」，指導有了尤拉公式，人們才對虛數的物理意義有了清晰的認識。
在尤拉公式中，令 ，得：
即： 複數與j相乘，就是與復指數 相乘，相當與複數逆時針旋轉90度，也就是說，複數與j相乘的過程，也就是向量旋轉的過程，如圖3所示。
圖3 虛數的平方等於-1的向量表示
由前面的分析，進行總結：
實數1對應的向量逆時針旋轉90度，得到虛數j，即：
虛數j對應的向量再逆時針旋轉90度，得到實數-1，即：
至此，通過一步步的推導，我們就可以對虛數j有乙個清晰的認識啦。
3樓：空間之刃
只要乙個i=√(-1)的定義就可以了。
首先，任何乙個複數都可以寫成a+bi的形式。一句廢話不解釋了。
而a、b這兩個實數，都可以寫成a=Rcosθ、b=Rsinθ的形式，任意實數也都可以寫成R(cosθ+isinθ)。換個馬甲而已。
接下來，高潮來了。
對於函式P(x)=cosx+isinx，有P(a)P(b)=P(a+b)。這個公式很好推，把三角函式公式往裡一套就行了。這個公式是有名字的，它叫棣莫弗公式。
根據棣莫弗公式，對於任意複數c1=A(cosa+isina)，若它乘上另乙個複數c2=B(cosb+isinb)，則c1c2=AB(cos(a+b)+isin(a+b))。
到這裡還沒有涉及幾何的問題，純代數推導。如果我們把數賦予幾何意義，對於任意複數c=a+bi，我們建立直角座標系，a在實軸，b在虛軸，那麼轉換成c=R(cosθ+isinθ)的形式就相當於轉換成極座標。而兩複數相乘，就相當於R相乘，而θ相加，也就是逆時針旋轉多少度。
而乘i就相當於乘R=1，θ=90°的複數，也就是逆時針旋轉90°。
下面的內容純粹為了增加逼格，不喜勿噴。
棣莫弗公式，P(a)P(b)=P(a+b)，這個形式太像指數函式了。於是人們就思考人生了：他是不是就是乙個指數函式？會是什麼指數函式呢？
那就求吧。
設cosx+isinx=e^kx
兩邊同時求導，-sinx+icosx=ke^kx
把i=-1帶入並提取i，i(cosx+isinx)=ke^kx
最後帶入cosx+isinx=e^kx，得
k=i所以，cosx+isinx=e^ix，傳說中的尤拉公式誕生了。
知乎裡都願意用這玩意解釋問題，顯得自己有逼格。
4樓：魚與喻於愚
首先逆時針旋轉九十度你可以用模長輻角公式理解，對於乙個複數c＝r(cosx+isinx)，ic＝r(-sinx+icosx)＝r(cos(x+90°)＋isin(x＋90°))反應在座標系上就是逆時針旋轉90°了。
5樓：mcxzx
(我先來：返老還童)其實很簡單：
只需要知道前提條件：
【前提條件推導】（看不懂可以略過，大致有點印象就好）
如果我們把乙個(復)數 乘上另乙個(復)數 看作是 c 被 a 作用： ，當 c 跑遍全實數或複數域時，這個作用就可以看成是對全實數或複數域進行的作用： 或
而這種作用可以復合(復合符號: )：
因為實數/複數具有結合律，因此由 a 復合 b 得到的總對映就等於 a與b的乘積生出的對映
這種作用/對映還具有另乙個重要的性質：對於所有實數α,β，複數m,n,c，由 c 生出的作用具有線性性：
【幾何意義推導】(開始了)
首先，對全體實數乘上 ，也可以看成是 生出的對映作用到實數軸上，不出意外地：
，相當於把整個實數軸反了過來：
那麼有什麼作用滿足線性性而且可以把實數軸反轉呢？有2個選擇：
關於原點的映象
關於原點旋轉180°
而虛數 生出的對映復合兩次後根據結合律結論可得： 。也就是說被虛數作用2次就和把實數軸反轉沒有區別。要想知道被虛數作用的「意義」，就是要分解反轉實數軸作用的「一半」是什麼。
選項1的一半：想想映象過程作用到一半是什麼？只在實數軸上看，全部實數都被壓縮到了原點，此作用在實數軸的限制就是 0 生出的作用。
但是再作用一次後，實數軸重新回來被反轉，但並沒有退化成 0。也就是表明映象只是被 作用後「投影」在實數軸上的結果
選項2的一半：旋轉180°，一半當然就是旋轉90°。(順時針只需要共軛一下就是逆時針了)。
此時復平面的引入就十分自然了：
旋轉必然至少是在平面中旋轉，而複數剛好存在自然的微分同胚： ( )
也就是說全體複數自身就是乙個平面。乘 就是在這個平面上進行的90°旋轉。把它「投影」到實數軸上就是前述的映象過程了。
更加嚴謹地證明：
首先每個複數都可以靠基底分解為
在被 作用後根據線性性( )
而再被同胚 作用到2維歐氏空間( ，分量式採用其自然座標)後，每個複數的像向量和被作用後複數的像向量內積為0，是正交的(夾角90°)，而且自我內積(代表長度)不變： ，
(令 ， ，代入內積式子即可得到上述推論)
能夠使被作用前後夾角90°還保長度的變換只有旋轉90°。當然該旋轉在復平面還未配備度量的意義下是非良好定義的，應當指被 到帶度規歐氏空間後在歐氏空間中屬於旋轉90°變換。但是有該自然的對映，雖然沒有復平面的相似度量，但是其幾何意義已經非常明顯了
採用「作用」的想法對研究許多事情都大有脾益，比如四元數的作用。當然，四元數比複數要複雜許多，乘上虛單位實際上代表四維的「雙旋轉」，必須要靠伴隨來完成單一軸的旋轉。不過上述的線性性，復合結合性也都仍然適用。
為什麼說e i 就是在複數空間逆時針旋轉角度 ？
御阪10032號 我們從非傳統的意義上來思考一下這個問題。對於乙個變數 我們把它看作時間，對於乙個物體A，我們知道他的位移與時間的關係 i是複數單位 啊，各位看到這個式子，是不是知道我要搞什麼東西了呢 然後呢，我們對他求導，就可以求得他的速度，即 而且當t 0的時候X t 1。我們知道在復平面中，乘...
為什麼擰開瓶蓋總是逆時針方向？
超哥 不邀自來，嘿嘿。不僅瓶蓋如此，擰螺絲釘也是同樣的規律 順時針擰緊，逆時針擰松。在英文裡，有一句諺語叫做 右緊左松 righty tighty，lefty loosey 是用來幫助人們去記憶種種緊韌體的旋轉方向和相應效果的。螺絲釘 螺紋瓶蓋以及電燈泡就是我們在日常生活裡常見的需要螺旋緊固的用品。...
地鐵環線為什麼不用順時針和逆時針區分方向？
狼球漠蒼 我身邊還有這種 秋璐煙 用向上向下說順時針逆時針的呢能怎麼辦 乙個人乙個方法嘛 一切都是習慣了就好，具體哪種提示方式最好，我覺得還是提示該方向的下一站和幾個重點車站 逆時針為外環順時針為內環也可以說逆時針為上行順時針為下行 地鐵工作人員一般都說的上下行 既然都看到這裡了麻煩大家贊一下嘛 b...