1樓：
不清楚非平衡態和量子統計的基礎，等大神來答吧。只能說一下經典統計了。
具體細節就不再寫一遍了，題主可以直接戳這裡：知乎專欄
1，經典統計的出現源於力學體系自由度數過大而完全無法通過求解哈密頓方程來描述它；且自由度數較大的情況下統計規律會凸顯出來；對於這種自由度數很大的力學系統我們更關心它的某些巨集觀性質。
2，原來求解哈密頓方程的方法不適用了，我們嘗試賦予相空間乙個測度，使得我們關心的力學量的平均值由它給出。
3，對於經典統計而言，經典統計=經典力學+遍歷性假設。
（1）經典統計要求：時間平均=空間平均，力學量的平均值由可見平均給出。這實際上要求：時間平均的極限存在；且極限就等於空間平均。
（2）由經典力學中的劉維爾定理可以證明：時間平均極限存在；時間平均滿足某個表示式。
（3）由於經典統計要求：時間平均=空間平均，但從經典力學出發我們無法證明，我們必須進行某種假設，這就是遍歷性假設。
個人感覺，物理學還是側重於「例子」的。以經典力學為例：小振動，剛體運動，天體運動之類的，才是課程的主幹，想深入了解理論基礎的話實際上就不關物理什麼事兒了。
歷史上伯克霍夫和馮諾依曼都分別證明了遍歷定理，當然角度不一樣，馮諾依曼的證明首先需要將餘切叢上的單引數微分同胚群對應成L2空間上的酉運算元，然後在L2空間的範數下證明時間平均極限存在。伯克霍夫的證明則是直接在作為測度空間的相空間上進行的。如果題主想要深入了解理論基礎的話，就去翻看一下遍歷論，動力系統，或者泛函分析的相關章節吧。
2樓：鄒益健
個人不是很清楚經典統計物理的基礎問題，例如ergodicity，mixing之類的。但是量子統計的基礎現在有很多進展，例如Goldstein的Canonical Typicality （PRL2005）和 Deutsch、Srednicki和Rigol的eigenstate thermalization （Nature2008）。好久沒有關注這個領域了，應該有更全面的綜述。
坐等大神補充。
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