1樓：蘿蔔列夫耶維奇
漏洞太明顯。
A0存在是基於ZF+Con(ZF)
但是 A0|=ZF 而非 A0|=Con(ZF)即，這裡不知道A0中Con(ZF)成立。
所以不知道A0中有ZF模型。
ZS大佬指出了你這個論述正好是個簡易的不完備性證明 ，即說明了ZF不能推出ZF有傳遞模型，不然這個無窮下降鏈就存在。我覺得很妙。
2樓：ZS Chen
如果ZFC是一致的, 那麼根據完備性定理, 則存在乙個有序對(M,E) (其中E是M上的二元關係), 使得如果我們把M當作論域, E當作 ""符號的解讀, 則(M,E)滿足ZFC公理.
上面這樣乙個論證, 是在(比如說)ZFC中, 用完備性定理("如果理論一致, 則理論有模型"), 同時用"ZFC是一致的"這個假設, 推論出"ZFC存在模型"這個結論.
哥德爾第二不完備定理告訴我們: 如果ZFC是一致的, 那麼"ZFC是一致的"這個命題不是ZFC的定理. 所以上文的論證是在"ZFC+ZFC是一致的"這樣乙個公理體系裡面進行的.
然而我們得到的(M,E)只滿足ZFC公理體系 , 並不一定滿足"ZFC+ZFC是一致的"這個公理體系, 所以我們就沒法繼續將開頭的論證繼續在(M,E)裡面進行.
實際上, 開頭的這樣乙個論證可以被拿來當作乙個簡易版的哥德爾不完備定理的證明 (很多不帶前置知識假設的集合論課程裡, 用的就是這個版本):
如果ZFC能證明"ZFC存在傳遞模型(transitive model)", 那麼ZFC是不一致的.
證明: 令(M,E)為我們已經證明存在的ZFC的傳遞模型. 正則公理告訴我們, 集合的rank是良基的, 所以我們不妨假設M已經取的是最小rank的符合條件的M.
那麼由於M是ZFC的模型, 我們同樣可以在M中證明"ZFC存在傳遞模型". 也就是說存在乙個 , 以及N上的二元關係R, 使得M滿足"(N,R)是ZFC的傳遞模型". 而由於"x是傳遞集合並且x滿足ZFC"是乙個 命題, 這個命題對傳遞集合來說是絕對的 (絕對性的內容題主可能還沒學到.
這裡大致意思就是, 如果M判斷N是ZFC的傳遞模型, 那麼N就真的(即在我們看來)是ZFC的傳遞模型). 所以: 我們在M中又找到了乙個傳遞模型; 意味著N的rank小於M的rank, 與"M是最小rank的符合條件的集合"矛盾.
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