1樓：
第乙個式子的組合解釋： 個球，每種球有 種顏色，那麼可以列舉每種顏色的出現次數，做可重排列。或者說是實際使用至多 種顏色的染色數。
第二個式子要求 種顏色實際都出現過，用實際使用至多 種顏色的染色數減去實際使用至多 種顏色的染色數即可，即 。
2樓：TeamDemonAda
睡前仔細思考了一番，發現自己下午時並沒有能理解題主所提出的問題，以至於給出的答案也是錯的離譜，所以我試著重新回答一下這個問題.
我們可以賦予 乙個組合意義. 考慮這樣乙個問題，將個帶有編號的球全部放入個帶有編號的盒子中，且編號為的盒子放個球，有多少種不同的放法？
我們給出的答案是，因為我們可以從 個球中先取出 個球放入 號碼盒子，從剩餘的 個球中取出 個球放入 號盒子, ... , 從 個球中取出 個球放入 號盒子. 根據乘法原理就有了 種不同的放法.
如此一來，的組合意義也就明朗了，它意味著將個帶有編號的球全部放入個帶有編號的盒子中，有種不同的放法.此時，對於每乙個球而言，它都有 種不同的放法，所以個球就有 種不同的放法，從而有了這個等式.
現在，我們再來看看 的組合意義.
它意味著將個帶有編號的球全部放入個帶有編號的盒子中，要求每個盒子至少放乙個球，則有 種不同的放法.
所以，化簡就等價於求解「將個帶有編號的球全部放入個帶有編號的盒子中，要求每個盒子至少放乙個球，有多少種不同的放法」這一問題.
下面我們來嘗試解答這個問題：
用 表示所有放法所構成的集合(即)，表示第 號盒子為空的所有放法所構成的集合，於是 就代表了沒有空盒子的所有放法所構成的集合，所以我們有
綜上， .
下面的是我下午時的回答，感覺有點莫名其妙，不知道為什麼當時完全沒能理解題主的意思.
我不清楚應該怎麼證明這一結論，事實上就連 這一結論也是看了你的問題後才知道的，不過直覺告訴我這個問題的答案應該是 .
我大致說一下為什麼我會有這種感覺，我們現在假設 ，那麼我們可以把這個和式中形如 的項分成兩大類，一類中存在 ，另一類中不存在 .
乙個從側面驗證這一結論的例子就是 時的情形. 想象一下乙個 元集合一共有 個非空子集.
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