1樓：端木弗貢
首先我們要弄清楚，arcsin 跟sin究竟是什麼關係。
arcsin 雖然也可以寫成 ，然而它實際上只是sin的部分反函式（partial inverse）。因為sin不是雙射函式（bijective），它的x和y不是一一對應的，所以嚴格來講，它沒有完整的反函式——除非我們引入多值函式的概念（乙個x對應多個y值）。
如下圖所示：sin的反函式是多值函式sin(y)=x（沿y軸伸展的灰色波形）。而跟arcsin（深紅）互為反函式的函式則是正弦曲線上深藍色的一段波形—— 。
反函式與函式復合後得出的是恒等函式： 。而恒等函式id就是直線y=x（綠色）。所以在-π/2 到 π/2的定義域內，arcsin(sin(x))就是恒等函式在相應區間內的線段。
Okay，那麼超出這個範圍的部分呢？
我們知道正弦函式有sin(x) = sin(x+2πn）（n為整數）的特性。那麼在 那些區間裡，也就會重複出現與y=x斜率相同的線段，只不過向左或向又平移了2πn的距離。
而在[π/2,3π/2]區間內，你會發現這一段sin的波形是跟在[-π/2, π/2]區間內的sin(-x)一致的（見下圖）。
arcsin當然不是sin(-x)的反函式，故而arcsin(sin(-x))得出來的就不是恒等直線。好在sin 和arcsin都是奇函式。sin(-x) = -sin(x), arcsin(-x) = -arcsin(x), 可知 arcsin(sin(-x))= -arcsin(sin(x)).
也就是說，如果是在[-π/2,π/2]區間內，arcsin(sin(-x))得出來的剛好是y=-x。回到arcsin(sin(x))，那就是區間向右平移了π。也就是說在所有[π/2+2πn，3π/2+2πn]的區間上，arcsin(sin(x))的線形都是與y=-x斜率相同的向下的斜線段。
2樓：Grassnature
我來寫乙個不怎麼含公式推導的文字說明。
顯然f=arcsinx和g=sinx互為反函式。把乙個函式和其反函式巢狀得到的函式，其影象本質就是y=x的變體。比如y=2x和x=1/2y互為反函式，得y=f(g(x))=2(x/2)=x。
而三角函式比較特殊就在它是週期性的。注意在取sinx的反函式arcsinx的時候，限定了arcsinx的定義域為sinx的值域[-1,1]，同時一般取arcsinx的值域為sinx的某個半週期如[-π/2,π/2]。
當x在區間[-π/2,π/2]時易得影象就是y=x。而sinx具有對稱性和週期性，由此即推出y=arcsin(sinx)也具有同樣的對稱性和週期性，將函式影象對稱，複製貼上，即可。
如果我把arcsinx的值域改一下，比如改成[π/2,3π/2]，函式影象整個也會變了。
3樓：PHOBIA
顯然，關於x是週期函式且2Pi是乙個週期。
arcsin的定義域是[-1,1]且值域為[-Pi/2,Pi/2]，是sin限制在定義域[-Pi/2,Pi/2]的反函式，故x在[-Pi/2,Pi/2]上時y=x。
4樓：wydi
,所以我們只考慮乙個週期內的。
奇函式，所以考慮
在 裡，
在 時我們利用誘導公式。
把 x 換到 即得
或者，直接利用結論：滿足奇偶性，週期性，一定有對稱軸。
又因為內部的 ，對稱軸就是 的.作出 延拓即可.
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