1樓：弟弟
看了從一到無窮大，我認為克萊因瓶是扭曲的空間，就像莫比烏斯環一樣莫比烏斯環《走半程》剛好到達原來平面的盡頭。同時在扭曲平面上到達對面。所以我們的空間如果是克萊因，就可以看到乙個鏡面對稱的人，我們可以看到他，卻無法干預它。
他也就是到達了空間的《背面》。
所以克萊因瓶是扭曲的三維空間（就像莫比烏斯環是扭曲的二維空間） 我認為是可以製作出來的。但是我們根本無法理解全貌，因為他只有在4維才能顯示全貌，我們一直在《正面》。
2樓：zighouse
三維人看四維物體，想要得到直觀映象，最簡單的辦法就是跟時間借維度了。不過要等效出空間維還要對時間維做個調整：允許往來穿梭。實在不能忍的，就當活在立體電影裡好了。
借某高讚的一張圖用一下：
這裡標上了數字。可以這樣來理解它：乙個娃在擺弄她新買的橡皮筋，同時擰著橡皮筋裡外翻了一下，重合到起始位置，有人記錄了橡皮筋的一段軌跡。
1處是現在，2處穿越到了過去，3處又返回到了現在，4處到了未來，再返回1處的現在。
這就造出來了乙個克萊因瓶，你說要拿著去裝水？可以，橡皮筋劃過的水都算是裝進來了。
3樓：虛篤
這個帖子把克萊因瓶歸納為四維物體。
m.zjurl.cn/answer/67027克萊因瓶如果中間沒有穿破瓶子表面就是個四維物體，但外空間一體化是通過拼接實現的。克萊因瓶不是四維物體，但確實是個非常精美的工藝品。
目前來說，直觀長度座標系是只有三維，是因為人為規定座標系是相互垂直的三個軸。如果加上極座標虛數之類的，是可以有四維五維的。如果不規定為相互垂直的軸，而是相互60度的軸，維數能更高，跟正N邊型類似。
座標軸的變換從初高中起就開始困擾我，大學研究生更是越弄越迷糊，二十年後終於有點眉目了！
4樓：小寶貝唄
克萊因瓶在三維空間是做不出來的，也不能說是假的，畢竟做出來的只是克萊因瓶在三維空間的投影，便於我們更加直觀的看到這個物體。
5樓：花襲人
用科普書籍《從一到無窮大》中的描述來理解，假設有兩個蘋果，把它們完全重疊套在一起，在三維空間中，它們內部的果肉是緊密的壓緊在一起，以至於變成了乙個更大的蘋果，但是在四維空間中的兩個三維蘋果，蘋果A和蘋果B互相穿過，並不互相影響。
克萊因瓶也是這樣的，你在三維空間裡只能做出這種有乙個洞，然後把長頸插進去的所謂的「克萊因瓶」，而實際上，你也無從想象，真實的它究竟是什麼樣的。一整個空間，就那樣奇怪地扭轉，然後又完美地閉合，可以用數學來描述。
可以說，科學上的很多東西，就是靠人類堅定的理性，而非想象力，才得以存在。
就比如，電子的自旋，難道真的因為是電子像乙個小球在高速自轉，所以才命名為「spin」的嗎？當然不是，不然帶分數的自旋又如何理解呢
我覺得，所謂四維空間，把他理解成桌球上貼的商品標籤，比硬想超立方體是什麼樣更好，看起來一樣的桌球，翻過來一看，標籤上乙個寫著黑龍江生產，乙個寫著湖南生產，四維是三維上粘附的乙個屬性，除此之外，別無他法。
6樓：覆杯
如上面很多答案說的，克萊因瓶就是四維對三維的乙個靜止的投影。
假如乙個四維物體穿過三維空間，那有可能就表現為克萊因瓶，但不是目前靜止的克萊因瓶，而是乙個運動的克萊因瓶，並且這個克萊因瓶不用開口，它的瓶口能夠在不開口的前提下隨意的穿過自己的外壁。
如果在克萊因瓶上的多點做個標記，你會看見它的內表面和外表面在不斷的流動，有的點會從內變外，有的點會從外變內，這是因為四維物體的內外對他來說都是外，三維就是構成四維物體的表面，就跟二維是三維物體的表面一樣，但很難想象就是了。
甚至一些點會突然消失，原因就是再小的四維物體都是無法全部投射到三維空間的，就像再薄的三維物體也無法壓入二維平面一樣，四維物體必定還有一部分是處於四維空間的，所以三維空間是無法觀測到這些消失的點的。
7樓：夢想翻身的鹹魚阿
我感覺在三維中，克萊因瓶頸能穿入自身內部。這本身就是個悖論。就像蛇的嘴不可能，不在身體外打個洞就能從內部連到屁股。就是自己吃自己也。。。
8樓：9TGALE
最近也在瘋狂理解這個模型，下面簡單解釋一下我的認識。
現在我們可以想想乙個套管，簡單的地說就是乙個粗玻璃管套著乙個細玻璃管，如果細玻璃管的y兩端都變粗與粗玻璃管相接，那麼就形成了乙個橫截面和縱截面均為兩條閉合曲線的封閉玻璃罐。
如果細心就會發現著個三維體形成的圖形都是封閉的且有內外之分。克萊因瓶也正是這樣，正是因為在三維條件下沒辦法表達它的細節的，正如上述的三維罐子的兩個截面的圖形也難以表達它的細節一樣。
這麼乙個瓶子是有「內外」之分的。那麼克萊因瓶是什麼呢？克萊因瓶簡單來說就是沒有內外之分的瓶子，即它的內壁與外壁是相連線的，是延伸成為同一面的乙個曲面。
這時候我們想象粗試管的管口延長，然後倒轉過來和內部的細試管口相接，這個過程不是粗試管凹陷到內部與細試管相接，而是粗試管延長城倒U形狀，細試管「穿過（其實不是穿過管壁，而是在四維裡實現的一種轉彎）」大試管的管壁，與大試管管口對接。如圖，不穿過管壁而實現A和B口沿箭頭方向的對接，即是克萊因瓶。
這樣最初我們設想的封閉的、截面為U形的瓶子的內壁和外壁就連線在一起了，也正是符合「不分內外」的克萊因瓶定義的瓶子。
9樓：吃雞腿的舒伯特
乙個二維平面裡的漫畫人也是無法想象到莫比烏斯環的，但莫比烏斯環的確存在，我認為克萊因瓶存在的可能性很大，只是我們三維生物自身的侷限限制了我們的想象力。
10樓：何志
莫比烏斯帶:1，「轉」180度操作。2，「連」兩端操作。結果:翻而通。
操作是可描述的，乙個角運算，乙個集合運算。
克萊因瓶與此類似，不過四維說法待定。
11樓：Edward
真正的克萊因瓶在三維空間是「拿不起來的」。
簡單的舉個例子：你可以用手輕易的穿過瓶頸外側觸控到瓶內底部，因為他們在同個三維空間上。
12樓：施曉菲
現在你能買到的克萊因瓶其實是「理論的上克萊因瓶」（僅能存在在四維空間）在三維空間中的乙個投影（切面？）。
可以把克萊因瓶想象成乙個高乙個維度的麥比烏斯帶。
也就說，你可以幻想自己是活在二維世界的乙個人，然後現在你所看見的三維世界中的麥比烏斯帶「投影」到二維世界中的樣子。然後把維度提高一度，想象乙個四維世界中的克萊因瓶，「投影」到三維世界，就是現在你所看見的那個瓶子了。
13樓：Bryan不可思議
我想問一下，這個也許是巧合，但是我希望專家能解讀一下，就是首先，莫烏比斯環不能存在於2維，但是可以在三維，在三維中克萊因瓶的投影是兩個莫烏比斯環，那麼克萊因瓶在四維空間中，會不會也是不可能存在的物體的投影的組成部分？會不會在所有維度層面上也是同樣或類似規律呢？如果說高維方面無法證明，那麼低維方面可不可能成立？
14樓：這雨一時半會兒不
可不可以這樣理解，如果時間是第四維度，那麼所有在某個時點上封閉的三維形狀都也可以內外穿越的，因為在構造封閉的三維形狀時，都是在時間的維度上從不封閉的形狀擴充套件成封閉的形狀（類似於點延伸成線，線延伸成面，面延伸成體）。而現實中所有的物體在時間維度上的形成，是乙個不完整→
完整→不完整的演化過程，類似於太極之盈虧交替，並且現實中的一切演化要更為複雜。所以這樣就可以理解在時間維度上所有封閉的物體都是開放的，只是時間維度的長短不一而已。
15樓：曾云
在前面幾個回答的啟發下我好像開始懂了，歸納一下看能不能說清楚。
我們所看到的現實生活中的克萊因瓶其實是為了要在三維空間中勉強描述四維空間裡的東西的一種妥協——這個瓶子穿過了自己。而在四維空間中這個瓶子不會穿過自己，構成這個平面的每個點都不會重合。
二維空間無法突破前後之分，即二維人要想看一張紙背面的內容必須把這張紙撕爛，在二維空間中你看見乙個人的臉和胸部，你卻看不見他的後腦勺和屁股。而三維空間無法突破內外之別，即我們（我們就生活在三維空間中）無法看見乙個封閉空間裡面的內容，比如我們需要用肉眼直接觀察我們的某乙個器官，只能通過開膛破肚來實現。而四維空間裡的人可以一眼就看清你的臉貌身材以及你的心肝脾肺腎。
是不是好詭異？
16樓：老李
是的，克萊因瓶無法嵌入三維空間，所以在三維空間中是不能不自交的。市面上的克萊因瓶都開了個洞來避免自交，因此是不完整的克萊茵瓶。
除了Klein bottle還有klein hat，可以買來戴。
17樓：
克萊因瓶不能被嵌入(Embedding)三維空間，但是你看到的瓶子也不能說是「假的」。克萊因瓶可以被浸入(Immersion)三維空間。在浸入下，雖然克萊因瓶的拓撲結構無法保持，但是我們仍然可以得到乙個在Tangent Bundle上的單射，保留克萊因瓶的幾何性質。
18樓：
克萊因瓶不能嵌入三維歐氏空間的證明有幾個，你可以證明歐氏空間中的超平面全部都是可定向的，然後說明克萊因瓶不可定向，這能處理掉可微的情況。
連續的情況可以試試Alexander duality, 你會算出來克萊因瓶的補空間有乙個-1維的同調，這是不可能的。
19樓：
瓶子交叉穿插的部分理論上既是裡面又是外面，現在買的瓶子做不到這點。就像莫比烏絲環只有在三維才能存在一樣，你在紙面畫乙個它的二維圖（投影），交疊的地方並不能真正符合既是正面又是反面一樣。
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