1樓：
題主想知道的平均值即函式上的『中值』，微積分學上有三大中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。本篇中，我們需要用到羅爾定理和拉格朗日中值定理。
首先，我們先介紹羅爾定理。羅爾定理是：
如果 R 上的函式 f(x) 滿足以下條件：（1）在閉區間 [a,b] 上連續，（2）在開區間 (a,b) 內可導，（3）f(a)=f(b)，則至少存在乙個 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
羅爾定理
如圖所示，該函式：
在在閉區間 [a,b] 上連續：顯然可得。
在開區間 (a,b) 內可導：該圖沒有例如y=|x|的『尖點』，則為連續並可導的函式
f(a)=f(b)：如圖紅虛線可得。
這樣的函式，根據羅爾定理，就有處於(a,b)的C與C'點兩個點，令函式的導數為0，即f'(ξ)=0。
根據羅爾定理，拉格朗日在條件不變的情況下進行了推廣，成為了拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理是：
如果 R 上的函式 f(x) 滿足以下條件：（1）在閉區間 [a,b] 上連續，（2）在開區間 (a,b) 內可導，那麼在開區間(a,b)內至少有一點ξ∈(a,b)，使得
比較羅爾定理與拉格朗日中值定理，可見拉格朗日中值定理較羅爾定理，取消了f(a)=f(b)這一條件,為了利用羅爾定理推導，我們必須構造乙個輔助函式 令 。不妨設 ，則有 ，其中f(a)=g(a), f(b)=g(b)。為了簡化，我將g(x)全部用f(x)代替。
現已知g(x)上兩點A(a,g(a)); B(b,g(b))，因為f(a)=g(a), f(b)=g(b)，所以A(a,f(a)); B(b,f(b))，則AB的斜率為 ，由點斜式可知：
那麼 (其中 )
將兩端同時求導，可得：
根據羅爾定理，存在 h'(ξ)=0，則有：
是為拉格朗日中值定理。
對拉格朗日中值定理兩邊積分，由牛頓-萊布尼茨公式可得：
，其中 可以看作下圖中的曲邊梯形面積。該曲邊梯形也可以被看作乙個以b-a為底、 f(ξ)為高的特殊矩形。在 x=ξ左右曲邊梯形的面積經過互相的補充，正好可以形成乙個以b-a為底、 f(ξ)為高的矩形，則 f(ξ)為該連續函式的平均數。
曲邊梯形/特殊矩形以上。
2樓：漏網之蟹
連續函式可以求平均值，具體可以搜一下，簡單來說使用積分可求連續函式平均值
就好像平均速度一樣，這也是乙個關於時間的連續函式而且取了平均值
3樓：南山原
求:平均速度，平均功率，平均電壓，平均電流……。
小明早晨6：30從家出發去上學，中途看到了乙隻蜻蜓，乙隻青蛙，一群小蝌蚪，一群大雁。小明家到學校300公尺，小明花了4小時，走了5000公尺才走到學校，請問這段時間小明的平均速度是多少？
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