廣義相對論為何選擇了流形？

1樓：唐子騫

廣義協變性要求背景結構不依賴某個優越參考係，但是仍需要在具體的參考係下處理問題，流形自帶座標卡的結構並且不依賴具體座標卡恰好符合這種要求。

等效原理要求慣性質量和引力質量相等，慣性即引力，「直線」即引力作用下的曲線，且引力可以逐點消沒，而聯絡結構恰好可以適配這一點。

最後，Einstein受到Minkowski對他狹義相對論表述的啟發，而且有時空彎曲的物理影象，自然需要考慮需要非平凡的度規結構且包含Minkowski時空作為特例。

所以就選中了Lorentz幾何。

2樓：

先回答第五個問題(也是標題裡問的 )：

廣義相對論為何選擇了流形，而不是四維歐式空間？存在哪些深刻原因？

首先，相對論時空不可能是歐氏空間，即使狹義相對論也不行，因為四維歐氏空間的度規是，而相對論時空是閔氏空間，度規是。

所以我先冒昧將問題改成：

廣義相對論為何選擇了流形，而不是四維平直時空？存在哪些深刻原因？

我打算用一種犧牲嚴謹性的直觀表述回答這個問題。

比如乙個一般的二維流形就可以看成乙個光滑的曲面。

(當然，平面也算是乙個二維流形，但這只是特殊情況 )

那麼，接下來就有了乙個關鍵問題：

我們知道，物理定律用微分方程描述，特別是關於向量場和張量場的微分方程。

平直空間中的直線座標系下，座標可以認為是「均勻」(這只是一種不嚴謹的直觀描述 )的，乙個向量對空間的導數就是向量的分量對座標值的導數，沒有任何問題。

但是放到彎曲空間中就不行了，因為彎曲空間找不到乙個「全域性均勻」(度規處處相等的 )的座標系。

具體怎麼理解這句話呢？

比如我們知道，平面上可以建立乙個全域性的笛卡爾座標系，同樣的向量在不同的地方具有相同的座標分量形式，這個乙個非常重要的特點。

但是如果是在乙個單位球面上，我們沒辦法建立這樣乙個「均勻的」直角座標系。雖然我們可以用經線和緯線建立乙個直角座標系，但這個座標系是不均勻的。

舉個例子：

乙個長度、與赤道呈45°角的向量，在赤道處的座標分量近似為：

而同樣的向量，在北緯60°的地方，它的座標分量就會變成：

(因為北緯60°的地方緯線比赤道處縮短了一半，相同長度投影到緯線上對應的

角就大了一倍 )

這就意味著，即使向量場是均勻的、不隨位置發生改變，它的座標分量也在變化，這就會給我們造成「向量場不均勻」的錯覺。

這時候，如果我們還是像平直時空一樣、用對座標的導數來描述向量的變化，就會把座標不均勻造成的差異也一塊兒算進去，最終造成錯誤的計算結果。而將這種錯誤結果代入微分方程中，自然也就會得到錯誤的物理定律。

這時候，我們就必須承認時空是彎曲的，並且用彎曲時空(≈流形 )的方式去描述這些變化，於是我們就有了克氏符和聯絡來消除座標「不均勻性」造成的偏差、並且在此基礎上匯出了能真實描述向量場(和張量場 )變化的協變導數、最後才能進一步匯出測地線方程、黎曼曲率、Ricci張量、標量曲率和愛因斯坦場方程。

這就是用一般流形、而不是平直時空描述廣義相對論的原因。

不知道這是不是題主想要的答案。

另外，我冒昧揣測一下，題主說的「微分幾何物理意義明顯」，是不是特指研究曲線和曲面的古典微分幾何？

古典微分幾何之所以看起來物理意義明顯，是因為在一開始引入的時候，曲線和曲面是嵌入更高維的且直觀的三維歐氏空間中描述的，所以看起來圖景十分清晰。

而且，四維時空本來就是不直觀的東西，即使嵌入更高維的時空去研究，也並不能讓它變得更直觀一些，所以更沒有這個必要了。

當然，如果我錯誤理解了題主的意思，還請諒解。

其他幾個問題我後面慢(gen)慢(ju)抽(zan)時(tong)間(shu)補充。

3樓：

愛因斯坦所處的時代數學就那麼點工具，要是放在現代，就算不用流形這種概念一樣可以建立廣義相對論，所以量子力學就選擇了泛函分析

4樓：Monsoon

不是廣義相對論選擇了流形，而是對於它涉及的問題，我們第一印象是幾何化的。而其上有全套的微積分，有拓撲的東西，只是恰好這種東西在數學上對應著流形罷了。

從狹義相對論開始，我們引入了時空線元這種幾何不變數來描述，後來這種線元表示式在不同時空情況下不一樣被我們翻譯為時空的彎曲，這種幾何化是人類自然而然的直覺，畢竟別的數學分支在時空這種物件面前，對人類來說都不是那麼自然的。比如量子那邊的玩意，除了要和相對論結合的那部分，剩下的就不會用到什麼幾何的東西，因為它立足就是無窮維線性空間和泛函。

況且幾何只是引力理論的一種形式而已，廣義相對論也只是特殊條件下的一種可能罷了。如果你關心引力量子化的課題你會知道，愛因斯坦方程本身就是聯絡幾何量和能動張量的東西，這也是引力難以量子化的原因之一--目前的引力理論過於幾何化。所以一條路是我們能找到一種量子幾何，改造量子場論；另一條路就是找到一種不是幾何的引力理論。

這兩條路現在都有人走。

所以說廣義相對論以流形，或者說幾何的形式出現，只是因為我們第一印象，我們第一次處理時空就是採用了線元這種東西，還有各種機緣巧合造成的。我一直覺得，物理是我們對這個世界的感覺，而數學讓我們能夠有辦法把感覺說出來。廣義相對論和流形就是這種關係。

5樓：物理學徒妖妖夢

回答這個問題首先要知道，什麼是流形？這裡引用我上微分流形課的時候老師說的第一句話：

流形區域性像平直Euclid空間，在其中可以做微積分。

灰原哀的梨味算符：為什麼現代物理和微分幾何的關係這麼密切？

也可以從科學史的角度看這個問題：我們的數學是從簡單的線性結構發展起來的，我們更熟悉這樣的線性空間。微積分也是在以直代曲，找線性的結構，同時它也是Newton引力理論的基礎。

那麼二十世紀初的新引力理論採用以直代曲來描述彎曲空間的微分幾何理論，就像呼吸一樣自然。

這樣的想法在二十世紀的物理中處處可見，例如史詩生物：場論家用幾何與代數（第一話）：李代數的崛起

6樓：樂學者

第一，如果四維時空不是四維流形，不是四維四維的黎曼（或偽黎曼）空間，那它能是什麼空間？還有別的選擇嗎？別的選擇更合理還是黎曼空間更合理。

我認為是黎曼（或偽黎曼）其實是很合理。既於張量的縮並，當然是普適的。這些都詳見：

樂學者：相對論時空是怎樣煉成的（之一：什麼是黎曼空間與偽黎曼空間？）

樂學者：相對論時空是怎樣煉成的（之二：我們的時空是黎曼(或偽黎曼)空間不是很自然的事嗎?）

第二，而事實上，我們的時空是偽黎曼空間，既於為什麼，這要問上帝。上帝在創世時有三種選擇，一是讓而非負無窮大，這時是偽黎曼空間；二是讓 0" eeimg="1"/>而百無窮大，這時就是黎曼空間；三是這時就是牛頓的絕對時空。是不允許的，因為度規張量要求是非退化的。

而非負無窮大是上帝在創世時的選擇——即這是沒有理由的，目前實驗測定它是這個的值它就是這樣的值。詳見：

樂學者：相對論時空是怎樣煉成的（之三：洛倫茲變換的和光速不變的本質到底是什麼？）

第三，既然時空是乙個偽黎曼空間。那麼其度規是由什麼來決定的？即度規場是物質性的嗎？

具體是說，度規場如果它是物質性的話，那麼它就理應有乙個拉氏密度，且和其他的場一起滿足最小作用量原理。而事實上確是如此。度規場它有拉氏密度且滿足最小作用量原理，於是愛因斯坦場方程就出來了。

然後，還是由於最小作用量原理，在時空中不受外場（指度規場之外的場）作用的自由質點，它的世界線就是一條測地線。由於度規場滿足愛因斯坦場方程，所以度規場會有曲率，由於自由質點的世界線是測地線，所以就表現出「引力」效應。所以，歸根到底是由於「度規場它有拉氏密度且滿足最小作用量原理」。

7樓：

流形本身是關於內稟彎曲空間理論，廣義相對論剛好需要彎曲時空。

這是唯一的選擇，還好有得選，否則愛因斯坦可能因為需要先創立流形理論才能寫出廣義相對論，這樣估計廣義相對論發表不了，或者延遲幾十年。

8樓：C.Jie

要想理解廣義相對論的數學工具為什麼選擇黎曼幾何(其實背景時空應該是洛倫茲流形)和張量分析，最好的方法就是是從經典力學出發比較兩者的異同點：這種方法首先需要認識到經典力學和牛頓引力也可以用幾何語言來描述的，或者說它們其實都是某種更廣義的規範理論的特例，即用曲率來表示力！

經典力學中非常重要的乙個概念就是慣性系，因為它聯絡著至關重要的牛頓第二定律，而慣性運動與時空的幾何性質是直接相關！回憶一下，在經典力學中我們先驗性地就假設運動的背景空間是R^3,且在標準參考係下的慣性運動是勻速直線運動。而廣義相對論則不同，慣性運動的軌跡是時空幾何上的最短路徑（測地線）(在閔可夫斯基時空中是直的世界線)，光線經過大質量天體附近時軌跡會出現偏移就是乙個很明顯的例子！

反之，原則上講也可以通過觀察物體的運動狀態和外力作用（如外加的電磁力）來判斷物體的慣性運動性質，從而用來定義物體所處的時空幾何。弱等效原理告訴我們，慣性質量與引力質量等價，在足夠小的時空區域內引力場中的自由落體運動等價於均一加速參考係中的慣性運動！(因為引力場在空間中存在分布的變化，所以弱等效原理需要加上局域的條件)

這某種意義上暗示可能存在一種新的慣性運動，區域性上，引力作用下的自由落體可以等價於慣性運動。通過這種慣性運動則可以重新定義周圍的時空幾何：從數學來看，引力場中慣性運動的軌跡對應著乙個不再平直的時空的測地線，而因為時空彎曲，存在的曲率則會產生一種類似於經典力學中力的效應，這個效應會改變物體的軌跡！

再回憶一下，在狹義相對論中我們也是先驗性地假設背景時空拓撲上是R^4,幾何上則是帶上了乙個洛倫茲度規，在這個過程中引力實際上是被我們忽略掉了！但如果考慮引力的存在，並假設愛因斯坦等效原理成立，則可知全域的慣性系是不存在的，只是存在類似於自由落體的粒子一起運動的局域近似慣性系。如果放棄背景時空拓撲是R^4這個設定，因為引力的引入，改變時空的幾何結構就很自然了！

確定了背景時空不再是平直的，而採用流形之後，考慮當時已經發展的比較成熟的黎曼幾何作為理論的數學工具就是很自然的事了！在流形地區域性座標下，所有慣性系都是等效的(形式上不同，只是因為取的區域性座標不同而已)，並且堵了都可以近似為Minkowski度規,對應局域上是慣性參考係！

流形上的幾何量依賴於選擇的度量，在選擇了合適的區域性座標後，這些度量在區域性上可以寫成類似於Minkowski度規一樣平直的形式，但全部上則不同，並且每一種這樣的度量都自然地與一種特別的無擾，保度量的聯絡相關聯，即Levi-Civita聯絡；因為這種聯絡能夠滿足愛因斯坦等效原理的要求並使得時空具有局域的閔可夫斯基性（這是指在乙個適合的局域慣性座標系下度量是閔可夫斯基性的，其度規的導數和連線係數即克里斯托費爾符號都為零。

總上所述，因為考慮引力效應和等效原理，背景時空不再選擇R^4，而是乙個4維的流形就是很自然的事，用上當時發展的比較成熟的黎曼幾何和張量分析工具也是很自然的！

廣義相對論為何選擇了流形？

E MC 是廣義相對論還是狹義相對論

廣義相對論有多高深

廣義相對論有什麼故事？

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