1樓：Narc
問問題前查查維基
可計算數（英語：computable numbers），是數學名詞，是指可用有限次、會結束的演算法計算到任意精確度的實數。可計算數也被稱為遞迴數、遞迴實數或可計算實數。
2樓：Xyan Xcllet
首先，乙個實數 若稱作是可計算的；也就是說，這個實數可以通過乙個圖靈機在有限的通用演算法來得到這個實數的任意想要的一位數字。
如果是精確計算的話，所有無理數都不可計算，因為一串無限不迴圈的小數沒有終點，無論多少紙也寫不出來。根號二就只能用根號表示。
後面一段是正確的，前面不對；其實，對於特別的無限不迴圈小數，他是沒辦法做到通過有限位精確表達出所有資訊的（無限迴圈小數只要知道有限位數的迴圈節和其他有限位的話就知道所有資訊了）。因此。為了可以讓我們沒有偏差的計算他們（例如 ），需要乙個和的誤差小於任意給定正數的數的時候，我們都可以把這個他們精確計算出來。
同時，極限中的 語言可以確保這一點。
舉幾個例子：
是可計算的，原因同樣是存在乙個通用演算法來獲得它的任意一位數字：
是可計算的，原因也是存在乙個通用演算法來獲得它的任意一位數字：由
推出除此之外，還有：
最直觀的例子是：
等等，就不舉其他例子了。
而不可計算數字；就是這個實數不可以通過乙個圖靈機在有限的通用演算法來得到這個實數的任意想要的一位數字。
更數學的提法是：
乙個實數 是可計算的當且僅當對於乙個可計算序列 有對於所有的 有 .
因此實數集是不可數的，但可計算數集合只是可數的，因此幾乎所有的實數都不可計算。可計算的數字最多只是可數的。
例如：蔡廷常數，在圖靈機上不存在乙個有限通用演算法來求出它的任意一位數字。
如果是近似計算的話，顯然每個有限小數都是可計算的，只要給足夠的紙。而任何實數取前有限位，都是有限小數，從而每個實數都是可計算的。
對於乙個不可計算數來說，就算是近似的逼近的方法也不存在的。
因為存在著「不可定義數」。
當然，大自然是否存在支援不可計算實數的存在，並且我們可以利用他們構造超越圖靈機的計算方式是乙個 Open Problem。
同時，就算是配了乙個圖靈機的停機諭示（Halting Oracle），那麼也是無法計算所有的實數集 內的所有實數的。
這可以看作是問題的更廣義版本。
因為，依照可計算性理論，不同的實數之間的可計算性也是不同的，那麼讓我按它們的名稱列出幾個可定義的不可計算實數：
位於 的實數 ：等價於圖靈機停機問題。
Kleene's：它被視為序數表示法時，為自然數集 的乙個正則子集。若乙個 屬於 Kleene's 以及 ，那麼有 同樣屬於 Kleene's 同時滿足 與 另外 是 -完備的。
內的實數：圖靈度層級的二次，三次跳躍 ... 第 層內的實數對於第 層來說就是不可計算的。
並且對於任意可定義的 內的實數：相對於配有 Oracle 的圖靈機，存在乙個停機問題，它比 更難計算（實際上是不可計算）。
包含 computing total functions 的集合內的實數：擁有複雜度
包含 computing a finite function 的集合內的函式：擁有複雜度
True Arithmetic內的實數： True Arithmetic 實際上是包含所有 中為真的語句的集合。特別地，這個公理系統實際上是自治並且完備的，不受哥德爾不完備性的影響。
但是它也是圖靈不可計算的。所在的圖靈度位於 ：也就是 圖靈跳躍。
內的實數：通過計算 內的良序關係程式的集合，擁有複雜度 ；並且它超越了超算術層級。
內的實數：包含所有 hereditarily countable 集 內所有為真語句的集合，同時是乙個 projective hiearchy。
內的實數： 實際上是集合論中乙個非常強大的大基數公理，遠比廣為人知的「不可達基數」大。它的存在性是一種大基數斷言的乙個實數：
等價於可構造宇宙結構的order-indiscernible 序數的真類的存在。
以至於 並且 內的實數。
內的實數： 同樣是集合論中乙個非常強大的大基數公理，嚴格來說， 比可測基數更大（也就是說，這是乙個特定的實數，其存在的一致性強度大於可測基數的存在。）。
同時是存在乙個可測基數並且更豐富的 indiscernible 內模型 上的理論。
等等...
這些還是可定義實數（不是可計算的！）同時還有不可定義的實數。暫時到這裡吧。
3樓：
我理解的「可計算「是說，它存在乙個解析表示或者級數表示，這種演算法可以計算某個數到任意的精確度；而「不可計算」是說，我們甚至沒辦法找到這樣一種表示去任意逼近。
如何證明不可計算的函式比可計算的函式多？
hhh 因為可計算函式和自然數一樣多，而不可計算函式至少和實數一樣多。證明為因為字元是能列舉的。我們把字元分三類，一是數字，二是符號，三是字母。於是可計算函式的對應 0 y 0 1 y 1 2 y a 3 y a 1 4 y a b 5 y a 1 然後字母，數字，符號全體編號。按1，2，3順序，然...
為什麼能行可計算的就是圖靈可計算的（遞迴的）？
如果我沒理解錯的話，題主想要問的實際上就是丘奇 圖靈論題 Church Turing Thesis 為什麼成立。丘奇 圖靈論題簡單地說就是 乙個自然數上的函式 是能行可計算的 effectively computable 當且僅當它是圖靈可計算的 Turing computable 其中，能行可計算...
計算數學在數學界是什麼樣的地位？
在數學各大分支中處於鄙視鏈底端。不信？你看看計算數學找工作多容易。數學就是這樣，鄙視好找工作的方向。越容易餓死的方向越高階，巴不得所有人死絕了才好。還敢藐視?計算器，計算機的發明外加各種軟體在歷史上砸了一些數學工作者的飯碗，狹義的數學家只好去做猜想和證明了。在這波網際網路 大資料 人工智慧浪潮之前，...