1樓：馬晨
是因為積分算錯了。
首先是切向量，作為切向量是以順時針方向為正方向的，而根據題意是應該以逆時針方向為正方向的，所以應該取的單位化為切向量。按照題主的取法，最終結果會多乙個負號。
其次是積分，這個積分分母直接代成，就成為：，並沒有奇點，所以可以直接格林公式，得到，根據前面所說，切向量方向導致多乙個負號，按照正確的定向應該是，和微元法結果一樣。
如果先不管分母，那麼這個積分就是，直接用格林公式是不行的，這時需要在奇點周圍取乙個小圍線，在這條小圍線和原來的圓周之間的區域用格林公式，把這個小圍線記作，也就是要計算：
用格林公式化成：
在小圍線上的積分，根據你前面的計算，是。從上面的式子中減掉小圍線的積分，就得到圓周上的積分，同樣是。這裡要注意的計算，由於你取了順時針方向作為正方向，在最後一步換元到極座標的時候要多出乙個負號。
這題目最簡單的方法是直接進極座標。事實上，確實可以描述圓，但並不是所有的曲線都可以用這樣的方程方便地表示出來，最一般的表示方法是引數表示，在圓這個特例中引數就是角度。用變數代換：
，；按照上面的方法求出dx,dy：，；單位切向量（用逆時針作為正方向）；於是積分變成了。相比於上面的方法要簡單得多。
總結一下的話，犯這樣的錯誤是因為不了解格林公式對奇點的處理方式。如果有奇點，我們實際上是在由小圍線劃出的不含奇點的區域內用格林公式，這樣得出的是在原來曲線上的積分加上小圍線上的積分；然後因為小圍線是任取的，一般容易計算，再從結果中減去小圍線的積分就可以了。而你的演算法中是預設了小圍線上的積分等於原來曲線上的積分，這個要求並不一定滿足。
同時要注意，格林公式所適用的曲線積分，連同被成為第二類曲面積分的積分，都對定向有非常嚴格的要求，最好使用常用的定向。比如這裡，我們常用的關於圓周的定向是逆時針，這實際上牽扯到比如角的取值，換元是有沒有負號之類的問題，如果隨便就取了相反方向的定向，中間的問題就變得非常麻煩，最終很有可能導致計算出錯。
另外，由於曲線實際上是由引數表示定義的，所以一般來講換成引數直接積分是最簡單的方法，格林公式一般在不容易找出引數表示的情況下使用，或者沒有具體給出曲線的情況下使用；做積分時，如果給定了曲線，一般先嘗試找引數直接積分比較管用。