1樓：
當 且a為偶數時，級數和雙曲餘切函式有關。
從雙曲正切函式開始。首先：
所以其對數的導數為
把x替換為πx
於是交換等號左右即為求和公式
其中 接下來，我們可知：
以此類推。
對不為0的偶數a，我們只要令 ，再拆出一些項，就可以轉化為上述形式。
當 且a為奇數時，級數和雙曲正切函式有關。
余弦函式的根為所有半整數倍圓周率點，所以
同理用ix替換x可以得到cosh的展開式，取對數再求導，就可以得到表示式
我們知道，對於任意乙個函式，如果我們知道它的零點和極點那麼這個函式一定可以寫成如下形式
我們來考慮一下其對數導數能寫成怎樣的形式。
現在，我們考慮
假設可以表示成兩個複數分母的分式的和
那麼解方程
於是 ，也就是說
因此接著我們把這個函式視為某個函式 的對數導數，很明顯，我們就是要尋找零點為
的函式在a為整數時，這些零點正好是雙曲正弦函式，雙曲余弦函式的零點，而其對數導數為雙曲餘切函式，雙曲正切函式，因此我們可以使用雙曲餘切或正切表示a為整數的情況。
但問題是a不為整數時，我們應該怎麼辦？
我們知道， 有以下極點：
那麼 則有以下零點
那麼 的零點則為
分別用ix，-ix替換x，再把替換後得到的2個函式相乘，得到：
這時，函式的零點恰好是
現在我們求f(x)對數導數
根據我們知道的以下定理
也就是說
即問題解決了，但是為什麼a為整數時那麼特殊呢？
我們知道gamma函式的餘元公式
取對數導數
在a=0的時候，左邊分子為即而
略微展開一下右邊
除以2x，就是a為偶數時的通解了。
在a=-1時，左邊分子為
根據 ，原式可變為：
同樣，再除以2x就是a為奇數時的通解。
好了，現在題主問的問題的答案為