1樓：oldgoat
@劉鎮銳
這個問題是這樣的。首先拋開它的背景「q是一命題且推出……，用H表示初始知識……」（特別是拋開粗體字那句）的話，（2.33）式到（2.
36）式就是很普通的數學變換，這本身是沒有問題的。但「毛病」（如果有的話）就出在這個新增上的背景上。
如果不需要考慮「H是初始知識」的問題，也不考慮 已經是現實的正面支援q的觀測結果——從而成為了證實q的證據，而只是把它當作其邏輯後承，那麼（2.33）式到（2.36）式只是單純的概率空間內演算，得出來的只是H、q、 在該空間中客觀的分布函式。
比如，把（2.36式）做個變形，將等號右端的分母乘到左端，就會有：
這時，上式右端的 也是乙個除了必須在0和1之間外，值域並未得到明確限制的函式。那麼當然，這裡沒有任何限制要求它必須在n趨於無窮時趨於1，也就是說它完全可以只趨於乙個小於1的a值，甚至可能不會收斂於某個特定的值——儘管這兩種情況大概都會使 趨於0。但這首先在數學上不會帶來很大疑惑，因為這時 與的收斂情況相關，它們相除完全有可能收斂於乙個大於0、小於1的有限值，從而符合概率的要求；其次，正如剛才所說的那樣，該式子給出的只是H、q、 在概率空間中客觀的分布函式。
那麼就算使 趨於0了也無非只是給出了該函式的乙個特殊的邊界條件（無窮遠條件？）而已，這在數學上平平無奇。
但問題是，加上了背景「q是一命題且推出……，用H表示初始知識……」之後，這件「平平無奇」的事情就變得不單純了：
（1）H是初始知識，那麼 就是基於該初始知識的、特定命題q成立的概率——這個實際上就是貝葉斯主義下認知者對待檢驗假說q所賦予的先驗概率。既然是「先驗概率」，也就是說它並不是乙個與 相關的變數，更無法成為乙個邊界條件，而是乙個在我們未知 的情況下，僅根據H和q在主觀上所預先設定的定值。換句話說，這個值是不會像原本的數學關係那樣能夠隨著n的增長、視乎 的收斂情況而趨於0的。
這就使得（2.36）式看上去沒什麼變化，但其實給出的是與原來有所區別的數學關係。
（2）在真正的認知-檢驗過程中，作為證據的 ，其獲取是逐步發生的。我們大多數時候不可能一次性地知道所有證據，而只能隨著證據的積累來逐步修正我們對待檢驗假說的置信度。也就是說，跟貝葉斯主義一樣，在這個問題背景下，實際的概率計算其實是要根據某一次的證據來確定該假說成立的概率之後，再將該概率作為下一次檢驗的先驗概率。
因此，實際上的概率計算公式是：
= N）
這時，如果要滿足 ，那麼只需要 就可以了。這看上去是不是比 要順眼多了？
——當然，這其實不解決問題。因為（2.36）式就是（N）式遞迴n次後的結果，所以 和 其實是內在一致的。
那麼我們就要解釋兩個問題：（A）為什麼看著比較合理的前者會和不太合理的後者內在一致？（B）既然有（A），那麼後者能不能通過比較合理的前者來得到乙個較合理的解釋？
以下就是解釋：
（A）需要注意到，相對於先驗概率 來說，是逐步獲得了n-1個證實（即正面支援）了待檢驗假說q的證據 後對q的置信度的修正值。從常識出發，毫無疑問的是隨著正面證據的積累且中間從來沒有遇見過反面證據，我們對q的置信度會越來越高。因此隨著n趨於無窮， 自身即趨於1。
那麼既然 ， 也當然會趨於1。（順帶一提，由於 是q的必要條件，前者成立時後者未必成立， 也是很自然的。）
（B） 不太令人接受的地方在於，我們憑什麼說連續成功證實足夠大的次數之後，下一次所獲得的證據是證實而非證偽的概率會趨於1（也就是說幾乎不可能證偽）？有什麼冥冥中的力量強制使這種理論不可能被證偽嗎？難道不知道什麼叫做「黑天鵝」嗎？
這個疑問放在答案開頭的「客觀概率分布」背景下當然很合理，不過考慮到原文給出的「逐步證實」背景，採取以下理解方式就能在一定程度消除這個疑問：這時，我們可以不把 看成是乙個單純的 在條件 、H下的客觀概率，而是看成我們作為認知者在已知如上條件時對 的推算——也就是認知主體在已有的正面證據序列基礎上，對下一次證據依舊是正面證據的期望值。這時，隨著正面證據的序列不斷延伸，我們對假說q獲得完全證實的信心就會越來越充足，而這種充足信心的其中乙個表現顯然就是越來越相信下一次證據會是正面證據。
不過，以上說法總歸還是有些疑問，因為它說的終歸是認知主體在「一廂情願」地相信q和 （儘管已有證據序列說明這個「相信」不是不合理）；但相反，如果是乙個比較「審慎」的檢驗者，他似乎無論如何也總得給反面證據 （從而也是對q的證偽） 留下一點空間，而且這種空間也正是客觀概率分布所允許的情況。那麼，難道這種「審慎」反而是不合理的嗎？
——這個事情反過來看，那就是在客觀概率上明明有證偽的可能，但「一廂情願」的人主觀上卻期望其不可能被證偽，那麼一旦真的發現證偽證據就肯定手足無措（畢竟毫無在理性上處理證偽證據的準備）了。這就是對各種「黑天鵝」之所以容易造成恐慌心理的解釋。
（B1）對於「審慎」的檢驗者而言，如果他想在面對不斷延伸的正面證據序列時依舊保持他的「審慎性」，那麼可以採取的方法是從一開始就設定乙個極低的先驗概率 ——也就是以極難接受待檢驗假說q的基本信念作為初始知識H；甚至可以在正面證據序列延伸到極大的n時回過頭來修改H，使 ——也就是採取被原文所拒斥的那種做法（換句話說，那種做法其實未必不可接受）。這時，就未必要令 才能使 得到乙個有效值。運用這種方法的乙個例項來自與波義耳爭論的霍布斯（參見《利維坦與空氣幫浦》），各位有興趣的話可以看看是否的確如此。
不過，這一點還可以做一些哲學上的發揮，即這種「審慎」是否真的審慎，還是說只是一種針對q的懷疑論？當然，在懷疑論者自己看來，審慎與懷疑論其實是一而二二而一的事情。但從另一方面來看，為了保持 不必趨於1而寧可使 ，這是否其實是另一種極強的先天信念？
也就是說，懷疑論者真的只是在審慎地懷疑嗎？
貝葉斯定理則兼顧了正面證據（證實）和反面證據（證偽）。這是由於它既考慮了證據e在待檢驗假說h成立下的概率，也考慮了e在h的競爭性假說成立下的概率——前者是e對h的證實，後者其實就是e對其競爭性假說的證實，那就是對h的證偽。我覺得，用貝葉斯定理來考察題設背景下出現反面證據的概率還合用一些。
可以直接用 代替。比較麻煩的地方在於，我們如何給出q在已經獲得了 的正面證據之後，它的競爭性假說成立的概率 ？這時必須優先考慮的問題是，我們也不能輕描淡寫地認為它就趨於0，而是要給出乙個定量的結果，不然就跟之前的「不期望證偽」乙個樣。。。
最終，結論如下：
2，如果我們要更加客觀、精確、全面的刻畫 以及 的各種可能的演化路徑，以使我們能夠準確地得出第n個證據是證實或證偽的真實概率，則題設的背景其實並不充分。
2樓：劉鎮銳
可能的問題出現在理解上……兩種衍生應對方案看起來均有我們難以接受的地方，這是因為我們習慣於把形上學與認識論混同……
但是，如果我們僅在形上學上認可第一種方案，僅在認識論上認可第二種方案，那麼就可以沒有任何問題……
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