1樓：阿列夫零
梯度和雅可比矩陣還是有區別的，至少在抽象光滑流形上是這樣的。事實上，梯度的定義需要流形上黎曼度量的存在（當然了，流形上總是可以定義黎曼度量；不過這是另乙個結果了）。不知道你有沒有考慮過，我們總是把所謂梯度向量寫成分量形式，那麼這個分量是對於哪組基展開的呢？
我們知道，在 中，我們可以把向量平移到原點，所以我們總是對著標準座標基展開的。可是，對於乙個抽象的光滑流形來說，我們沒有額外的線性空間結構來幫助我們做到這一點。於是，我們只能在區域性（切空間、餘切空間）展開「梯度向量」。
切空間可以看作是流形一點所有線性微分運算元構成的向量空間，餘切空間是切空間的對偶空間。
函式 。這個時候，我們有兩種選擇。一種是在切空間中形式地定義 的「梯度」：
（這裡預設了重複指標求和）。然而我們立即發現，這樣定義出來的「梯度」性質很差——它在區域性座標變換下沒有不變性：假設 是切空間的另一組基，其轉移矩陣 滿足 ，那麼
（一般來說）。
而如果我們選擇在餘切空間中形式化地定義 的梯度： ，則沒有這個問題（即在區域性座標變換下是不變的）。假設 是乙個區域性的轉移函式。那麼計算拉回
我們證明了區域性不變性。
事實上，我們上面定義的叫 的微分，記為 。
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