1樓：
偶然在MSE上看到乙個非常好的解釋：How does Cramer's rule work?。這不需要你有任何幾何上的理解，純粹就從代數上就很直觀。
原回答比較簡潔，這裡將它稍微詳細地展開一下。
我們都知道乙個線性方程組可以寫成 的形式。比如說，考慮 個未知數的時候，乙個線性方程組是這樣的：
我們知道克拉默法則的式子是 ，把 乘過去得到 。由於 ，觀察 式，是不是跟 的形式有一些相似？只要想辦法把 擴充套件成乙個矩陣，使其行列式為 就行了！
不難發現，對於行列式為 的要求，擴充套件成的矩陣是這樣的： 。此時我們發現，右邊的矩陣正是 ；而對於 ，容易看出擴充套件出的矩陣就是 ，此時右邊的矩陣也就是 。
於是 ， ，這與克拉默法則是吻合的！
那麼 元的情況呢？不難發現，我們需要擴充套件成的行列式為 矩陣分別是
進而推廣到 元的情形，
由行列式的定義可知， 式顯然成立。於是我們就用一種非常簡單直觀方式的構造出了Cramer法則。
2樓：耿耿天
在熟悉線性變換和線性變換表示矩陣的行列式的幾何意義是空間變換前後的伸縮因子（如二維空間中為單位正方形變成的平行四邊形的面積）的前提下我們可以根據下面的簡短證明來進行形象的理解。
首先用表示將矩陣的第列替換為後得到的新矩陣。那麼根據行列式的性質，恰為的第個分量。
這一點從幾何上也是顯然的，我們在初中就知道，固定一條邊不變時，平行四邊形的面積取決於另一條邊在垂直底邊上的投影，而放在矩陣中其他列向量不變時這個投影便是被替換的列向量位於主對角線上的那個分量。
可見線性方程組的解為：
但的值對於我們而言仍是未知的。不過沒關係，預設取中的列向量為基，並設上的線性變換將中的列向量映為中的列向量，則的表示矩陣便是。而我們知道同一線性變換的行列式是唯一確定的，因此為了算出，我們的想法是將看作其他線性變換的復合。
乙個事實是，如果設將中的列向量對映為了中的列向量 ，則由可知將中的列向量對映為了中的列向量。那麼顯然的，另設線性變換將中的列向量映為中的列向量，便有。於是可逆時。
而顯然的，同取中的列向量為基時的表示矩陣為，的表示矩陣為。由於線性變換的乘法對應著表示矩陣的乘法，則上述的可逆時，我們直接得到線性方程組的解為
同時由於可逆的線性變換是乙個雙射，我們也知道這個解是唯一的。
3樓：GaryChan
Farin G, Hansford D. Practical linear algebra: a geometry toolbox[M]. CRC Press, 2013
Cramer's Rule：
4樓：老兵還鄉
n階方陣乘以乙個n維列向量等於乙個新的n維列向量。
這意味著在「左乘」意義下，n階方陣引導了乙個n維空間到n維空間的對映。
如果學過線性對映的概念，你就容易驗證，這種對映把n維平行多面體映成新的，至多n維的平行多面體。
從而行列式的取值，就是兩個六面體的體積比(新：舊）。如果行列式為0，就說明這個方陣是個」降維打擊」對映。
從而，這個降維打擊必然至少把乙個非零向量壓成了0，也就是|A|=0時，Ax=0有非零解。
克拉默法則是怎麼想出來的？
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