高等代數中利用基本初等對稱多項式來求 x a x a x a 的判別式的步驟？

1樓：不改名更不了答案

首先，要明確「判別式」這個多項式，它「判別」的是（式）什麼。實際上，判別式所判別的東西，是任意乙個陣列中有否數字相等——若有，則返回值為0；若無，則返回值不為0。也就是說，判別式本質上是這樣乙個指示函式，定義為：

。至於判斷多項式根的情況，是它的乙個主要應用；換言之，判別式本身是乙個一般性的工具（定義判別式並不依賴於給定的多項式方程），但通過某種方式可以與多項式根的情況產生聯絡。

讓我們從一般情況入手，給判別式構造出乙個符合要求的代數形式來。眾所周知，範德蒙行列式（Vandermonde determinant）定義為范德蒙矩陣（Vandermonde matrix）：的行列式，而其顯式表示式即為范德蒙多項式（Vandermonde polynomial）。

這是最典型的乙個斜對稱多項式（交錯多項式），亦即在任意的置換（是元對稱群）下，（其中是置換的符號）。顯然，範德蒙多項式的平方：有以下兩條性質：

（1）它是對稱多項式（因為任意置換的符號平方）；（2）當存在某些使得時，取值為零。可見，性質（2）能夠滿足判別式的指示作用，而性質（1）則可以幫助我們構造出它的顯式表達。

根據對稱多項式的基本定理——任意對稱多項式皆可唯一地表為某個關於基本對稱多項式（其中）的多項式，可以定義關於元組的判別式為—— ，也就是對稱多項式以基本對稱多項式為變元重新錶出的唯一多項式。

將表為關於基本對稱多項式的唯一多項式，既可通過待定係數法（當變元多了之後會非常麻煩，不推薦）求得，也可通過以下的演算法得到：考慮到，可以計算範德蒙矩陣與其轉置的乘積的行列式，因其形式非常規整—— ，其中是元組的次冪和。而關於基本對稱多項式的唯一表示可以根據牛頓公式：

遞推地進行計算。

將判別式與多項式根的情況聯絡起來的紐帶，是韋達根—系關係：設次首一多項式有個根，則。顯然，此時可以定義次首一多項式（方程）的判別式為。

而當存在重根的時候，判別式。