1樓：Vstal
備考期末所以補充一下 @Fiddie 的回答。
若解區域性唯一，不妨 0" eeimg="1"/>在 上成立，只考慮 的情形。
取 滿足 ，由Peano定理至少有乙個解 ，那麼隨著 從減小 也減小\\ 0" eeimg="1"/>
由於過 上任意一點解是唯一的那麼在 從減小時 a" eeimg="1"/>故 的左行解存在區間為 ，令 ，從而
由於 0" eeimg="1"/>可得 ，更進一步 .
2樓：Fiddie
題目(丁, 2.2/5題)設微分方程
其中 在 的某鄰域（例如區間 ）內連續， 在所考慮的區間連續，而且 則在直線 上的每一點，方程(1)的解都是區域性唯一的，當且僅當瑕積分
證明：「 」: 設 其中 都是待定的數.
顯然 就是(1)的解. 假設(1)有另乙個不同的解 . 不妨設 a" eeimg="1"/>(根據這樣設是合理的).
取 使得 考慮
則 可微，且
根據可知 在區間 內是單射. 改寫(2)式為 , 對(2)式在區間 上積分，可得
(3)式右邊小於正無窮是因為 連續. 因此對(3)式左邊換元 (注意這裡 是這個區間內的單射, 所以才可以這樣換元). 那麼 與條件矛盾.
「 」: 沒想好
【參考】Osgood定理. 見@inversioner 的
inversioner：常微分方程學習筆記(2)
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