三向量共面充要條件?

時間 2022-01-10 12:51:04

1樓:書痴

一、假如都是自由向量a,b,c,則任意兩個向量都共面。取a,b共面於β,分兩種情況:①若a,b為平行向量,即a,b為共線向量,此時不論向量a,b組成的兩條直線是同一條直線還是不同的直線,都有向量a,b,c共面(因為向量a,b平行)。

②若向量a,b不是共線向量,即向量a,b不平行,則平面β必有一法向量d,再證明c,d垂直即可。

二、假如向量a,b,c不是自由向量,則要證明此三個向量共面等價於證明此三向量所在的直線共面,即證向量a,b所在直線相交組成平面β,則平面β必有一法向量d,再證明c,d垂直即可。

2樓:Radium

可以這樣想,平面是二維空間,因此只需要一對基向量即可表示整個平面。三向量共面有兩種情況:

1.三向量共線(屬於二維空間的子空間),這樣三個向量之間自然可以線性表出。

2.任一向量可由剩餘兩個不共線的向量線性表出。也就是說,任取兩個不共線的兩個向量作為基底,他們都可以表示整個平面,因此第三個向量在平面內,那麼它就可以由這兩個不共線的向量線性表出,因此這三個向量線性相關。

rmk:如果三個向量都不共線,那麼他們組成的是三維空間,他們之間線性無關。

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